60. Изоморфные и гомоморфные группы.

Две группы А и В называются изоморфными, если между их элементами можно установить такое соответствие, что каждому элементу из А соответствует определенный элемент из В и, наоборот, всякому элементу из В соответствует определенный элемент А (биоднозначное соответствие), причем это соответствие таково, что произведению двух каких-либо элементов из А соответствует произведение соответствующих элементов из В. Если А и В — изоморфные абстрактные группы, то они имеют совершенно одинаковую структуру, т. е. по существу не отличаются одна от другой.

Перейдем теперь к установлению нового понятия, которое является обобщением понятия изоморфных групп. Группа В называется гомоморфной группе А, если каждому элементу А соответствует определенный элемент В, причем каждый элемент из В соответствует хоть одному элементу из А, и это соответствие таково, что произведению двух элементов из А соответствуег произведение соответствующих элементов из В. В данном случае в отличие от изоморфных групп соответствие не должно быть обратно-однозначным, т. е. один и тот же элемент группы В может соответствовать нескольким различным элементам группы А. Если группа В гомоморфна группе А, и каждому элементу из В будет соответствовать один определенный элемент из А, то эти группы будут и изоморфными. Заметим, кроме того, что если элементам из А соответствуют элементы и из то по определению элементу из А соответствует элемент из В.

Пусть единичный элемент из А и соответствующий элемент из В. Нетрудно показать, что и будет единичным элементом. Действительно, для любого из А имеем равенство

которое приводит к равенству соответствующих элементов из В:

причем по определению гомоморфизма можно считать любыьг элементом из В. Последнее равенство показывает, что есть единичный элемент группы В. Итак, в изоморфных и гомоморфных группах единичному элементу из А соответствует единичный элемент из В.

Возьмем теперь два обратных элемента из А, и пусть соответствующие элементы из В. Равенство где единичный элемент, дает, по определению гомоморфных групп, , где по предыдущему единичный элемент, а потому 1, т. е. обратным элементам из А соответствуют и обратные элементы из В.

Положим, что наши группы только гомоморфны, но не изоморфны. Рассмотрим совокупность элементов в группе Л, которым соответствует единичный элемент из В. Если соответствует то по предыдущему соответствует и всякому произведению соответствует также т. е. совокупность элементов группы Л, которым соответствует единичный элемент из В, образует некоторую подгруппу С группы А.

Покажем, что эта подгруппа будет нормальным делителем. Действительно, пусть какой-нибудь элемент группы соответствующий элемент из В. Всякому элементу вида соответствует в В элемент или в силу основного свойства единичного элемента можно утверждать, что всякому элементу вида соответствует единичный элемент из В, т. е. всякий элемент вида есть один из элементов т. е. он принадлежит подгруппе С, а следовательно, эта подгруппа С есть нормальный делитель. Рассмотрим теперь разбиение группы А на сопряженные совокупности по схеме

Пусть элемент, соответствующий Возьмем два элемента принадлежащих одной и той же сопряженной совокупности. Им будут соответствовать элементы т. е. один и тот же элемент .

Элементам из разных сопряженных совокупностей соответствуют элементы Покажем, что эти последние элементы различны. Действительно, если бы они были одинаковы, то элементу соответствовал бы единичный элемент из В, т. е. элемент А должен был бы быть одним из элементов т. е. мы имели бы что противоречит схеме (44). Итак, если группа В гомоморфна группе А, то совокупность элементов С из А, соответствующих единичному элементу из В, образует нормальный делитель, и всякая сопряженная совокупность с этим нормальным делителем представляет собою совокупность всех элементов А, которым соответствует один и тот же элемент из В. Из определения гомоморфных групп, следует непосредственно, что произведению двух каких-либо элементов из различных (или одинаковых) сопряженных совокупностей соответствует произведение тех элементов группы В, которые соответствуют упомянутым сопряженным совокупностям, т. е., короче говоря, всякой сопряженной совокупности из А соответствует определенный элемент из В, различным сопряженным совокупностям соответствуют различные элементы из В, и это соответствие устанавливает изоморфность группы В с дополнительной для группой в А.

В качестве примера возьмем опять группу вещественных ортогональных преобразований в трехмерном пространстве и сопоставим каждому такому преобразованию число, равное определителю преобразования, определив умножение в области этих чисел обычным образом, как умножения чисел. Выданном случае наша группа будет гомоморфна группе, состоящей из двух элементов причем умножение для этих двух элементов определяется обычным образом, как умножение чисел. Роль единичного элемента будет играть Для этого примера нормальный делитель будет представлять собою группу вращения.

Если группа В гомоморфна, но не изоморфна группе А, то совокупность элементов группы которым соответствует единичный элемент из называется обычно ядром гомоморфизма. Мы видели, что ядро гомоморфизма является нормальным делителем группы А.