76. Свойство ортогональности.

Матрицы, образующие неэквивалентные унитарные неприводимые представления, обладают некоторым свойством, которое называется обычно свойством ортогональности. Им часто пользуются при применении теории групп к физике. Сначала сформулируем это свойство.

Пусть имеется конечная группа G порядка с элементами

и пусть

две системы матриц, дающих линейное представление группы G. Обозначая элементы этих матриц малыми буквами с двумя значками снизу и считая, что указанные два линейных представления неэквивалентные, неприводимые представления и состоят из унитарных матриц, мы будем иметь следующие равенства:

которые имеют место при любых нижних значках. Аналогичные равенства имеют место и для одного неприводимого, унитарного представления. Пусть порядок матриц дающих унитарное, неприводимое представление, равен . Имеют место следующие формулы:

т. е. сумма, стоящая слева, равна нулю, если пары чисел различны, и равна если эти пары одинаковы.

Доказательство ортогональности основано на теореме III из [66]. Предварительно напомним понятие умножения для случая неквадратных прямоугольных матриц. Пусть имеются две матрицы С и D с элементами

причем число столбцов матрицы D совпадает с числом строк матрицы С, Элементы произведения DC определим обычной формулой

Новая матрица DC будет иметь, очевидно, строк и столбцов. Формулируем теперь основную теорему.

Теорема. Если унитарные матрицы порядка и унитарные матрицы порядка q дают неэквивалентные неприводимые представления группы G и если некоторая прямоугольная матрица Сер строками и q столбцами удовлетворяет при всяком s условиям

то С — нулевая матрица, т. е. все ее элементы равны нулю.

Рассмотрим сначала случай когда С естъ также квадратная матрица. Если определитель С отличен от нуля, то существует и из (159) следует

т. е. наши два представления эквивалентны, что противоречит условию теоремы.

Итак, определитель С должен равняться нулю. Положим, что не все элементы С равны нулю, и обозначим эти элементы через . Как известно, линейные формы

определяют при произвольных подпространство, число измерений которого равно рангу матрицы С [14], т. е. в данном случае это будет подпространство с числом измерений 1 и . Иначе говоря, это будет действительно не полное пространство измерений, а некоторое подпространство R. Напишем (159) как некоторое линейное преобразование над вектором с составляющими

Слева есть произвольный вектор из а вся правая часть, представляющая собой линейное преобразование С над вектором также принадлежит Иначе говоря, преобразование над любым вектором из R дает опять вектор из При этом, как мы знаем дают приводимое представление, что противоречит условию теоремы.

Доказательство это остается в силе и при Тогда ранг матрицы С во всяком случае меньше и линейные формы

определяют в пространстве измерений некоторое подпространство с числом измерений так что предыдущее доказательство остается справедливым. Положим, наконец, что и в условиях (159) перейдем к транспонированным матрицам. Это даст нам

В данном случае порядок q матриц выше порядка матриц и, как и выше, мы заключаем отсюда, что унитарные матрицы оставляют инвариантным некоторое пространство, а следовательно, мы можем соответствующим подбором основных ортов привести их к квазидиагональной форме. При этом и матрицы будут квазидиагональными, что противоречит условию теоремы. Таким образом, теорема доказана.

Мы могли бы не упоминать в условиях теоремы о том, что матрицы унитарны. Как известно, переходя к подобным представлениям, мы можем всегда считать унитарными, причем переход к подобным представлениям в соотношениях (159) вводит вместо С новую матрицу Си связанную с С соотношением вида:

если есть нулевая матрица, то такой же будет и С.

Обратимся теперь к доказательству формул (157). Вместо введем обозначения , где тот элемент группы , которому соответствуют матрицы Пусть - любая матрица, имеющая строк и q столбцов. Введем матрицу

и покажем, что она удовлетворяет соотношениям (159).

Пусть какой-либо фиксированный элемент группы G. Мы имеем:

Но в силу определения линейного представления

и отсюда

Элемент пробегает всю группу, то же самое можно сказать и о произведении , так что предыдущую формулу можно записать в виде:

т. е. матрица С, определяемая формулой (160), действительно удовлетворяет соотношениям (159), и, следовательно, эта матрица С есть нулевая матрица Итак, при любом выборе матрицы X имеем:

Положим, что в матрице X некоторый фиксированный элемент равен единице, а остальные нулю. Написанная формула дает нам при этом

В силу унитарности матрица получается из заменой строк столбцами и всех элементов сопряженными, так что предыдущая формула при прежних обозначениях дает

что и совпадает с (157).

Точно так же строя матрицу

где - любая квадратная матрица порядка р, мы можем показать, что

и в силу теоремы из [66] можно утверждать, что D кратно единичной матрице, или

где число с зависит от выбора X. Положим опять а остальные элементы X равными нулю, и обозначим через соответствующее значение числа с. Мы можем написать:

Для определения положим и будем суммировать по i от 1 до

Если то правая часть равна , а при она равна нулю. Отсюда и, следовательно, формула (161) переписывается в виде:

что и совпадает с (158), если воспользоваться унитарностью матриц

Нетрудно видеть, что соотношение (157) имеет место не только для унитарных представлений группы, но и для любых неэквивалентных, неприводимых представлений. Пусть - два таких представления порядков эквивалентные им унитарные представления, так что

где - определенные матрицы, не зависящие от s. В силу унитарности имеем:

и формула (157) может быть записана в виде:

откуда, умножая слева на и справа на и вводя произвольную матрицу имеющую строк и q столбцов:

и пользуясь произвольностью Y, как и выше, получим:

Отметим также, что формула (162) имеет место для любого, а не только для унитарного представления, что вытекает из ее доказательства и из того, что в формулировке приведенной выше теоремы не нужно упоминать об унитарности матриц .