2d. Ковариационные функции и коррелограммы

Предварительный анализ эмпирических данных с помощью ковариаций и коррелограмм представляет собой обычную хороша известную процедуру. Коротко рассмотрим некоторые основные идеи этого анализа и выделим соответствующие допущения из тех, которые рассмотрены в § 2а.

Графическое введение в стохастические процессы, данное Волдом (1965), в высшей степени информативно для оценивания спектра и коррелограммы.

2d.1. Связь между ковариациями.

Рассмотрим авторегрессионную систему, описываемую уравнением Уравнение для можно получить, умножив уравнение для на и взяв математическое ожидание:

Для всех представляет собой линейное разностное уравнение относительно с начальными условиями Эти начальные условия могут быть найдены как функции матриц параметров из линейных уравнений вида для и следующего уравнения:

которое получено из уравнения для умножением его на и применением операции математического ожидания.

В силу линейности уравнения решение как функция может быть только убывающей как геометрическая прогрессия функцией у или линейной комбинацией таких функций. Это заключение остается справедливым, даже если имеются члены типа скользящего среднего. Таким образом, стационарные стохастические процессы, корреляционная функция которых ведет себя как не могут быть точно представлены линейными разностными уравнениями.

При наличии в разностном уравнении скользящих средних ковариационные матрицы по-прежнему удовлетворяют соотношению для всех причем матрицы В, коэффициентов скользящего среднего сюда не включаются. Однако начальные условия для разностных уравнений содержат коэффициенты

Для иллюстрации вышесказанного приведем два примера одномерных систем.

Пример Пусть у — скалярный процесс:

Уравнение для имеет вид

Чтобы получить выражения для начальных условий через перепишем в виде

Используя можно получить, что

выполняя указанные операции. Решая эти уравнения относительно и выражая решение через получим

Пример 2d.2.

Уравнение для имеет вид

Можно упростить решение, рассматривая два отдельных условия.

Случай (I). Пусть — и пусть Выражение для можно переписать в виде

где

Случай Решением будет

где

Случай (I) рассматривается в последующих главах. Интересной чертой в случае (I) является затухающий синусоидальный характер ковариаций, хотя в уравнении системы синусоидальные члены отсутствуют. Случай (I) является возможной моделью для эмпирических временных рядов, имеющих тенденцию к периодичности. Интересно сравнить представление системы уравнениемг отвечающим случаю (I), с другой моделью, имеющей синусоидальные члены; это можно сделать методами, изложенными в гл. VIII.

Мы дадим общие формулы для оценки величин через коэффициенты для системы ARMA (2а.1.1) с одним выходом при для всех

Остальные величины получаются решением следующей системы совместных уравнений; доказательство предлагается читателю в качестве упражнения:

где а матрицы размерности имеют вид

2d.2. Ковариационные матрицы, полученные осреднением по времени.

Здесь мы введем другое множество ковариационных матриц полученных осреднением по времени. Обозначая

через оператор осреднения по времени, получим

Предполагается существование упомянутых выше пределов. Когда процесс слабостационарный, для всех В противном случае не совпадает с Чтобы продемонстрировать различие между рассмотрим следующий пример.

Пример Рассмотрим одномерный процесс на выходе авторегрессионной системы со скользящим средним

Пусть где слабостационарный процесс и детерминированный процесс. Подставляя вместо у в разностное уравнение для у и замечая, что получим следующие выражения для

Связь между дается соотношением

Пусть Используя получим следующее разностное уравнение для F

где В случае, когда велико, приближенное решение для 1, имеет вид

Иначе говоря, если у велико,

2d.3. Оценивание ...

Если наблюдениями у являются то состоятельная оценка Эта оценка следует естественным образом из определения

Если процесс — слабостационарный, то является также состоятельной оценкой и для

В случае скалярного у график нормированных оценок (нормированных таким образом, что как функций обычдо называется коррелограммой процесса.

Выведем выражение для среднеквадратической ошибки оценки которая может служить показателем точности оценки (Хеннан, 1964). Пусть у — слабостационарный скалярный гауссовский процесс, описываемый уравнением авторегрессии, и пусть оценка построенная по наблюдениям,

в предположении нормальности. Поскольку убывает как показательная функция, то главным членом данного выше разложения будет

Чтобы лучше понять это выражение, рассмотрим систему из примера случай (I). Пусть Нетрудно оценить величину так как мы имеем дело с экспоненциальными рядами:

Когда мало, оценка может быть очень неточной. Выражение полезно для сравнения качества приближения между коррелограммой данных, генерированных моделью, и

коррелограммой самих исходных данных. Расхождение между ними считается несущественным, если оно не превосходит двух средне-квадратических отклонений.