8d.2. Значение проверки адекватности, сложность модели и объем наблюдаемой выборки.

Объясним сначала значение проверки адекватности модели на примере. Рассмотрим сравнительно простой стационарный временной ряд, содержащий 100 наблюдений, и предположим, что соответствующая ему -модель проходит все тесты проверки адекватности при определенном уровне значимости. Можно ли считать, что данный физический процесс подчиняется -модели? Положительный ответ не гарантируется. Если данный физический процесс подчиняется -модели, то статистические характеристики модели, такие как коррелограмма и спектральная плотность, должны быть близки к соответствующим эмпирическим характеристикам, полученным по дополнительным, скажем, 10 000 наблюдений процесса на приемлемом уровне значимости. Такая ситуация возникает нечасто. Рассмотрим, например, моделирование процесса речного потока за день. Обычно -модели достаточно, если приходится иметь дело с числом наблюдений порядка 100. Но характеристики наилучшей -модели будут значительно отличаться от соответствующих эмпирических характеристик

потока по дополнительным 10 000 наблюдений. Таким образомг строго говоря, у нас нет права считать, что процесс речного потока за день можно представить -моделыо. Все, что мы можем сказать, это то, что -модель может адекватно объяснить 100 наблюдений, использованных при ее построении. Иначе говоря, эмпирическая коррелограмма, спектральная плотность и другие характеристики 100 наблюдений лежат в пределах двух стандартных отклонений соответствующих характеристик -модели, но на базе данных наблюдений нельзя сказать, вызвано ли наблюдаемое разногласие между соответствующими характеристиками модели и наблюдений неподходящей моделью или выборочными колебаниями характеристик, вызванными конечностью выборки.

Таким образом, концепция проверки адекватности, рассмотренная в этой главе, имеет экспериментальный характер. Критерии проверки адекватности говорят только о том, что данная модель адекватно представляет данное множество наблюдений. Конечно, чем больше множество наблюдений, используемое при построении модели, тем шире возможности модели адекватно объяснять данные, которые будут получены в будущем.

Обозначим через минимальную сложность обоснованной модели, построенной по наблюдениям. Грубой оценкой является число членов в «экономной» модели, которая проходит все критерии проверки адекватности при заданном множестве наблюдений объема Предшествующее обсуждение приводит к выводу, что по мере увеличения доступного числа наблюдений могут потребоваться все более и более точные модели. Напомним, что в тестах коррелограмм отклонение, вызванное выборкой, имеет порядок Следовательно, чем больше тем меньше должно быть разногласие между характеристиками модели и данными при одинаковом уровне значимости.

Имеются две возможности изменения от N.

1. стремится к постоянной величине при ,

2. растет с ростом

Случай 1 не требует комментариев. Если имеет место случай 2, это указывает на то, что ни один из рассматриваемых классов моделей не соответствует заданному процессу. Возможно, процесс нестационарный и (или) не подчиняется модели стохастического разностного уравнения конечного порядка. В качестве такого примера можно привести процесс дробного шума.

Все предыдущие замечания справедливы, если ищется модель, проходящая все критерии проверки адекватности. Во многих случаях можно ограничиться только предсказанием, а не получением синтезированных данных, так что проверка адекватности модели с использованием синтезированных данных является излишней. В таких случаях разностные уравнения относительно

малых порядков часто вполне достаточны для обеспечения адекватных формул предсказания и рассмотрение сложных моделей требуется лишь изредка.

8е. Заключение

Изложен ряд методов для выбора подходящего класса для заданного временного ряда при данном множестве возможных классов моделей. Далее рассмотрены критерии, так называемые критерии проверки адекватности, для определения адекватности представления наиболее подходящей моделью из данного класса имеющегося временного ряда. Были предложены основные принципы построения моделей с использованием методов выбора класса и проверки адекватности. Зависимость сложности проверки адекватности модели от размеров выборки также была рассмотрена.