Глава XI. НЕКОТОРЫЕ ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ПРИМЕРЫ ПРАКТИЧЕСКОГО ПОСТРОЕНИЯ МОДЕЛЕЙ

Введение

В этой главе мы рассмотрим несколько дальнейших примеров моделирования временных рядов из «реальной жизни». Рассмотренные здесь ряды довольно разнообразны: это процессы роста, процессы с почти периодическими колебаниями, колебательные процессы роста, а также процессы роста с гладким монотонным трендом. Некоторые из процессов совершенно «обычны» в том смысле, что не обладают характерными свойствами процессов роста или систематических колебаний, гладкого монотонного тренда — положительного или отрицательного. Все процессы наблюдаются не более чем в 300 точках, поэтому нет необходимости использовать сложные модели, подобные обсуждавшейся в гл. X модели суточного речного потока.

Важнейшая цель главы — продемонстрировать искусство построения модели. В частности, мы показываем, что различные ряды, которые кажутся подобными друг другу, могут требовать совершенно разных моделей. Тем самым подчеркивается важность рассмотрения для заданных рядов сначала некоторых возможных классов моделей, прежде чем будет отобрана конкретная модель.

Рассмотрим, например, три временных ряда, приводимых в этой книге: среднемесячный расход воды в реке из гл. X, численность популяции канадской рыси и процесс солнечной активности в этой главе. Все эти ряды обладают систематическими периодическими колебаниями и не имеют характера процессов роста. Тем не менее соответствующие им модели имеют совершенно разную структуру. Последовательность ежемесячных наблюдений речного потока моделируется авторегрессионной моделью первого или второго порядка для у с добавлением синусоидальных членов. Удовлетворительной моделью численности популяции рысей является авторегрессионная модель для переменной с добавлением синусоидальных членов. Наконец, последовательность чисел солнечных пятен хорошо описывается авторегрессионным процессом высокого порядка с авторегрессионными членами типа , где период доминирующего колебания, а -ближайшее целое к число. Необходимости в добавлении синусоидальных членов не возникает. Аналогичным образом, возрастание сбыта товаров должно

описываться функцией тренда тогда как модель типа IAR с постоянным членом адекватно описывает экспоненциально-подобный рост населения США и популяции американского журавля.

Далее мы показываем, что критерии адекватности накладывают ограничения на выбор моделей и тем самым помогают выбрать верную модель. Сопоставим, например, ряды численности рысей и солнечной активности. Если ограничиться авторегрессионными моделями, то класс авторегрессионных моделей второго порядка в обоих случаях окажется наилучшим. Рассмотрим для каждого из процессов наилучшим образом согласованную с данными модель AR(2). Остатки для обоих случаев удовлетворяют всем критериям независимости, но коррелограммы выходных сигналов моделей плохо согласуются с соответствующими эмпирическими коррелограммами, показывая неадекватность моделей AR(2). Следовательно, необходимо испытывать другие классы моделей, пока не будет найден наилучший класс.

Мы рассмотрим также проверку гипотез об окружающей среде, например, такой гипотезы: урбанизация увеличивает количество осадков. Обоснованность этой гипотезы можно рассматривать только в динамическом аспекте, поскольку количества осадков коррелированы во времени. Показывается, что неудачно подобранная модель дождевых осадков может привести к ошибочному выводу о справедливости гипотезы.

Нами рассматривается также вопрос о целесообразности включения в модель членов типа скользящего среднего. Мы приводим реальный временной ряд (первые разности величин затрат) и показываем на нем преимущества модели со скользящим средним по сравнению с моделью, содержащей лишь автогрессионные члены. Причина этого состоит, по-видимому, в том, что такие ряды в точности описываются процессом типа Авторегрессионная модель является лишь приближением к этому процессу и, следовательно, является худшей, чем модель типа при любом порядке авторегрессионной модели. Мы увидим также, что чем выше порядок модели AR, тем хуже ее соответствие с данными. Довольно странно, что такая попытка сравнения ранее не предпринималась, несмотря на то, что в этом направлении было получено много общих результатов. Этот пример еще раз показывает, как важно избегать догматического подхода при построении моделей.

Наконец, мы даем пример построения многомерной модели для описания зависимости уровня грунтовых вод от уровня осадков по данным ряда метеостанций. Обсуждаются также причинные связи между уровнями осадков и грунтовых вод.

Большое число практических вопросов построения моделей с различной степенью подробности можно найти в журнале IEEE Transactions On Automatic Control (декабрь 1974), у Ванстеенкисте (1975), Чисхолма и др. (1971) и в ряде других мест.

В большей части этих работ для исходных данных находятся наилучшие модели в заранее выбранном классе моделей. Детальное сравнение классов моделей или всестороннее обоснование подобранных моделей обычно отсутствует. Поэтому мы в этой главе обращаем особое внимание на вопросы сравнения и обоснования моделей.

Одна из наиболее распространенных ошибок при построении моделей возникает в вопросе о необходимости рассмотрения моделей с переменными во времени коэффициентами. Пусть, например, оценка параметра в некоторой, скажем, авторегрессионной модели, построенная по наблюдениям. Допустим, мы обнаружили, что разности между многими парами членов последовательности оценок значительно больше стандартного отклонения для этих оценок. Из этого часто делают вывод, что необходимо использовать класс моделей с переменными во времени коэффициентами. Такой вывод часто не оправдан. Отмеченное поведение оценок часто означает, что класс рассматриваемых моделей является не подходящим. Если правильно выбрать класс моделей, то оценки коэффициентов наилучшей согласованной модели могут изменяться не столь резко, как в неправильно подобранной модели. Эта особенность хорошо иллюстрируется моделями численности популяции американского журавля.