6с. Оценки квазимаксимального правдоподобия в случае систем с одним выходом

6с.1. Описание.

В этом пункте мы рассмотрим схему оценивания, которая не включает многих ограничительных предположений, принятых в §§ 6а и 6b. Это правило оценивания упоминалось в гл. IV. В §§ 6а и 6b мы были вынуждены допустпть независимость так как иначе мы не смогли бы получить выражение для совместной плотности вероятности полного вектора наблюдений В схемах квазимаксимального правдоподобия мы рассматриваем только ту часть плотности вероятности для которая может быть получена на основе знания распределения вероятностей одного возмущения отсюда название «квазимаксимальное правдоподобие» (Кашьяп, Нэсбург, 1974). При определенных условиях эта оценка состоятельна, а при некоторых дополнительных условиях эта оценка, как будет показано, имеет ту же самую асимптотическую дисперсию, что и

оценка максимального правдоподобия на основе полной информации.

Рассмотрим задачу оценивания, связанную со скалярным процессом у из класса определяемым уравнениями (6а.1.1). Примем обычные предположения Отметим, что мы не используем т. е. независимость не предполагается. Будем использовать критерий

Оценка 0 для 0, получаемая минимизацией называется оценкой квазимаксимального правдоподобия для 0, основанной на

Это правило оценивания будет совпадать с байесовым правилом оценивания из когда в последнем принимается т. е. когда мы не располагаем удовлетворительной априорной информацией о параметре . Название «квазимаксимальное правдоподобие» было дано из-за того, что эта оценка может быть получена максимизацией одной части логарифма функции правдоподобия на основе полной информации. Это видно из соотношения

где

Первый член в этом произведении, обозначенный I, можно раскрыть следующим образом:

где Значение 0, которое максимизирует функцию правдоподобия, полученную из I, это и есть оценка квазимаксимального правдоподобия для .

Ясно, что правила оценивания квазимаксимального правдоподобия и условного максимального правдоподобия совпадают,

когда статистически независимы или когда и отсутствует. Однако при определенных условиях, даже если зависимы, оценка квазимаксимального правдоподобия, как можно показать совпадает с оценкой максимального правдоподобия на основе полной информации.

6с.2. Связь между оценками условного максимального правдоподобия и квазимаксимального правдоподобия.

Рассмотрим уравнение удовлетворяющим уравнению где

Переменная наблюдаема, но она зависит от даже если не зависит от для всех Пусть обозначает оценку квазимаксимального правдоподобия для Условия, при которых одновременно есть оценка условного максимального правдоподобия, формулируются в следующей теореме.

Теорема 6с.1. Оценка квазимаксимального правдоподобия для определенная выше, совпадает с оценкой условного максимального правдоподобия для если процесс удовлетворяет уравнению

где последовательность независимых случайных величин, которые могут быть коррелированы с может быть неизвестным.

Эта теорема есть прямое следствие из теоремы 6а. 1 п. 6а.4. Условия, требующие, чтобы оценка квазимаксимального правдоподобия совпадала с оценкой условного максимального правдоподобия, не очень ограничительны. Однако, если мы действительно имеем некоторую информацию о например о его первой компоненте, то оценка не будет оценкой условного максимального правдоподобия по той причине, что мы не используем всю наличную информацию в ходе оценивания. Тем не менее является оценкой квазимаксимального правдоподобия.