8b.3. Выбор класса, основанный на рекурсивном (в реальном масштабе времени) предсказании.

Этот метод позволяет одновременно сравнить несколько различных классов моделей где при условии, что они не содержат членов скользящего среднего (Кашьяп, 1971). Некоторые из моделей могут также иметь зависящие от времени коэффициенты при том же самом условии. Основная идея этого метода состоит в использовании адаптивного алгоритма прогноза

построенного по данным вплоть до момента а именно Предположим, что данный процесс принадлежит классу Даже если неизвестна конкретная модель из этого класса, соответствующая у, знания самого класса достаточно для построения оптимального одношагового алгоритма прогноза по значениям используя подходящий критерий. Обозначим этот алгоритм прогноза через Если данными являются то, используя только первое измерение можно предсказать значение обозначая предсказанное значение через Так же можно вычислить ошибку предсказания Далее, для предсказания используйся два наблюдения предсказанное значение обозначается через и вычисляется ошибка предсказания Аналогично, в общем случае, используя предсказываем значения Используя все ошибки предсказания можно вычислить среднеквадратическую ошибку предсказания

При вычислении предсказывающая способность класса С» была проверена раз. Вычислим индексы для классов Тогда можно предложить следующее решающее правило.

Решающее правило 3. Рассмотрим для классов, полученные по имеющимся данным. Если существует только один класс такой, что индекс является наименьшим среди множества то отнесем данные к классу Если минимальное значение достигается на двух или более классах, то данные относятся к одному из этих классов в соответствии с дополнительным критерием типа критерия минимальной сложности.

Интуитивное обоснование этого правила следующее. Последовательность у из класса была проверена на эксперименте предсказания. Если индекс наименьший на множестве это означает, что правило предсказания является наилучшим среди Поскольку все алгоритмы прогноза построены с использованием одной и той же функции квадратического критерия, различия в их качестве нужно приписать тому факту, что допущения, сделанные при построении алгоритма прогноза ), более обоснованны, чем допущения относительно других алгоритмов прогноза. Другими

словами, для имеющихся данных класс является более правдоподобным.

Рассмотрим теперь подробнее построение алгоритмов прогноза и приведем другие обоснования для принятия решающего правила.

Предположим, что заданный эмпирический процесс принадлежит классу для которого уравнение 9 имеет вид

где известная функция, -функции прошлых значений трендовых компонент или наблюдаемых входных сигналов и последовательность одинаково распределенных по нормальному закону случайных величин. Требуется построить одношаговый алгоритм прогноза по прошлым данным вплоть до момента Такой алгоритм прогноза должен быть некоторой функцией наблюдений до момента и не содержать как явно, так и неявно наблюдений и более поздних наблюдений. Так как численные значения параметра характеризующие процесс у из класса неизвестны, то принимается байесов подход и вектор 0 рассматривается как случайная величина с заданным априорным распределением.

Пусть байесов одношаговый алгоритм прогноза отвечающий критерию среднеквадратической ошибки предсказания, основанный на всех наблюдениях вплоть до момента и построенный в предположении, что рассматриваемый процесс принадлежит классу:

Оценка этого математического ожидания требует использования упоминавшегося априорного распределения 0. Этот алгоритм прогноза обладает следующим свойством:

согласно § 6е, где любой другой алгоритм прогноза построенный по данным до момента времени Используя данное множество наблюдений можно оценить . С помощью уравнения можно сформулировать следующую лемму.

Лемма. Если данный наблюдаемый процесс принадлежит классу то имеет место следующее неравенство:

где математические ожидания вычисляются с помощью байесова подхода, используя априорное распределение параметра из класса

Эту лемму можно доказать методом, указанным в приложении 8.1. Эта лемма и обычные индуктивные рассуждения (именно, пусть если В истинно, то весьма правдоподобно, что А также истинно) приводят к указанному выше решающему правилу. Эта лемма наводит на мысль, что вероятности ошибок обоих типов, порожденных данным решающим правилом, не должны быть слишком большими. Здесь уместны следующие замечания.

Замечание 1. Предсказанные значения можно вычислять рекурсивно с помощью методов гл. VI. При вычислении предсказанных значений используется байесова оценка соответствующего вектора параметров вычисленная по наблюдениям до момента времени Когда отсутствуют члены скользящего среднего, оценка может быть вычислена по в реальном масштабе времени, используя либо алгоритм в системе с постоянными коэффициентами, либо в системе с переменными во времени коэффициентами.

Замечание 2. В решающем правиле можно использовать частный алгоритм прогноза из содержащий оценки максимального правдоподобия, вместо байесова алгоритма прогноза . В некоторых случаях, например, если неизвестно, такой алгоритм прогноза требует сравнительно более простых вычислений, чем байесов. Можно доказать асимптотическую справедливость леммы, аналогичной упомянутой выше в этом же пункте с заменой байесова алгоритма прогноза в решающем правиле алгоритмов прогноза

Замечание 3. Данный здесь метод можно использовать для одновременного сравнения ряда классов, разностные уравнения которых содержат также преобразованные переменные типа Такое сравнение невозможно при применении методов теории проверки гипотез.