10f. Заключение
Мы подробно обсудили вопросы моделирования последовательностей расхода воды в реках. Модели для последовательностей среднесуточного, среднемесячного и среднегодового расхода воды оказываются совершенно различными. Модель последовательности среднесуточного расхода воды в реке описывается уравнением авторегрессии, тогда как модель последовательности среднемесячного расхода воды описывается ковариационно-стационарным уравнением авторегрессии с входным шумом, имеющим изменяющуюся во времени дисперсию. Эти два утверждения не находятся в противоречии, поскольку области справедливости этих моделей различны. Модель последовательности среднесуточного расхода воды может использоваться только для выводов, включающих
несколько суток (не более 30), тогда как модель последовательности среднемесячного расхода воды полезна только для выводов, ограниченных несколькими месяцами.
Мы также подробно проанализировали гипотезу, что процессы изменения расхода воды в реках не могут описываться конечной моделью в виде стохастического разностного уравнения, а описываются моделью с дробным шумом, которая может быть представлена в виде уравнения с бесконечным числом членов скользящего среднего. Аналогичные гипотезы высказывались в связи с многими другими метеорологическими процессами. По нашему мнению, имеющиеся совокупности наблюдений по годам и по месяцам не подтверждают такой гипотезы. Более того, средиеквадратическая ошибка прогноза наилучшей модели с дробным шумом оказывается значительно большей, чем ошибка исследованных здесь моделей в виде конечного стохастического разностного уравнения.
Модели для последовательностей среднемесячного или среднегодового расхода воды относительно просты и выдерживают проверку на адекватность. Модель последовательности среднесуточного расхода воды — несколько более сложная и не выдерживает некоторые критерии проверки адекватности. В частности, модели последовательности среднесуточного расхода воды не дают адекватного объяснения для изменяющихся во времени среднего значения и стандартного отклонения наблюденной последовательности. Основная трудность при исследовании данных о среднесуточном расходе воды заключается в наличии огромной совокупности из 
наблюдений. Такая длинная предыстория вынуждает нас строить для имеющихся данных очень чувствительную модель такую, чтобы отклонение характеристик выходного сигнала модели от характеристик наблюдаемых данных имело порядок 
где 
число имеющихся наблюдений. Соответствующая модель не может принадлежать классу рассмотренных здесь линейных адекватных моделей. Возможно, надлежит исследовать модели совершенно другой структуры, например модель с мультипликативным шумом. Следует подчеркнуть, что проблемы, с которыми мы здесь столкнулись, вовсе не обусловлены спецификой суточного интервала между данными о расходе воды. Эти проблемы возникают при рассмотрении очень длинных последовательностей данных. Если мы возьмем произвольные 700 наблюдений среднесуточного расхода воды, то мы сможем построить, как и выше, совершенно удовлетворительную модель. Точно так же, у нас возникли бы проблемы при моделировании процесса среднемесячного расхода воды, если бы в наличии имелось 15 000 измерений этого расхода.
Наконец, отметим, что модели данных, берущихся с месячным интервалом, для рек из одной и той же климатической зоны полностью аналогичны друг другу.
Комментарии
Имеется обширная литература по анализу гидрологических временных рядов и построению их моделей. Последующие ссылки охватывают лишь малую часть этой литературы.
Применение стохастических моделей временных рядов стока воды для разработки системы водных ресурсов детально обсуждается в книгах Маасса и др. (1962) и Хуфшмидта, Файеринга (1966). Доуди, Маталаш (1964), а также Кисел (1969) дают обзоры результатов анализа временных рядов гидрогеологических данных. Вопросы построения стохастических моделей для гидрологических временных рядов и реализации этих моделей на вычислительных машинах обсуждаются в работах Чу (1964), Файеринга (1967, 1972) и Файеринга, Джексона (1971). Последние также кратко обсудили некоторые исследования в проблемах водных ресурсов, где стохастические модели гидрологических данных играют видную роль. Кларк (1973) рассмотрел некоторые аспекты применения ARIMA и некоторых других моделей для гидрологических процессов. Дополнительные сведения о моделях этих процессов можно найти в материалах следующих конференций: «Systems Approach to Hydrology». Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado (1971); «Mathematical Models in Hydrology», Proceedings of Warsaw Symposium, International Association of Hydrological Sciences Pub. No. 101, (1974), «International Symposium on Uncertainties in Hydrologic and Water Resource Systems». University of Arizona, Tucson, Arizona (1972); «Symposium on the Design of Water Resources Projects with Inadequate Data», Proceedings of the Madrid Symposium, International Association of Hydrclogical Sciences (1973); «Floods and Droughts». Water Resources Publications, Fort Collins, Colorado (1973).
