1b. Описание моделей

Пусть наблюдаемыми переменными являются -мерный выходной вектор -мерный входной вектор и. Мы рассмотрим лишь модели, описываемые стохастическим разностным уравнением

в которых динамическое поведение целиком определяется его прошлыми значениями, прошлыми значениями вектора и вектором возмущений размерности не зависящим от прошлые значений как у, так и и. Ниже будет показано, что семейство достаточно богато, чтобы охватить большое разнообразие стохастических последовательностей. Стохастические разностные уравнения предполагаются имеющими конечный порядок, за исключением некоторых моделей в гл. II и X, называемых моделями с дробным шумом и описываемых разностными уравнениями бесконечного порядка.

Вообще говоря, элементы матриц коэффициентов будут считаться неизвестными постоянными. Однако это предположение неуместно при моделировании некоторых реальных процессов, и тогда переменные предполагаются медленно изменяющимися случайными переменными. Подробности можно в гл. VI, соответствующий метод иллюстрируется в гл. X, Вектор размерности 12 составлен из описывающих детерминированный тренд функций, таких как Подходящие детерминированные функции мени подбираются обычно в результате просмотра эмпирических данных и их характеристик, а также применения процедур проверки гипотез. Функции ляются векторными размерности соответственно,

Если функции неизвестны, то простейшее предположение состоит в том, что все они линейны. Это может оказаться слипь ком ограничительным. Более слабым является предположение, что

При этом уравнение можно записать в компактной используя оператор единичной задержки определяемый соотношением

где

Что касается возмущения появляющегося в то простейший случай — предположить его последовательностью независимых случайных величин. Однако такое предположение может оказаться ограничительным. Поэтому примем, что процесс с нулевым средним и конечным временем корреляции:

В случае с конечным временем корреляции справедливо его представление в виде процесса скользящего среднего:

где

причем последовательность независимых случайных вели чин с нулевым средним и с не зависящим от при

Неявно принимается также, что шум не зависит от прошлых значений Альтернативным к условию независимости является предположение, что процесс произвольный неупреждающий. Последовательность можно представить также как процесс авторегрессии; в этом случае есть линейная функция его прошлых значений и Однако легко показать, что система с представлением авторегрессионного типа для не является более гибкой, чем система или с представлением типа скользящего среднего для

Таким образом, окончательно принимает форму

с процессом удовлетворяющим условиям

Семейство моделей характеризуется двумя множествами параметров, которые можно назвать первичными и вторичными. Параметры характеризующие порядки систем, и другие аналогичные им параметры, которые будут определены ниже, образуют множество первичных параметров; последние могут принимать лишь неотрицательные целочисленные значения. Элементы же матриц коэффициентов принимающие вещественные значения, образуют вторичные параметры.

Подчеркнем, что модель линейна только относительно матриц не обязательно линейна относительно вектора у. Поэтому распределение вероятностей вектора у может быть негауссовым даже при гауссовом векторе Эта особенность очень важна, поскольку многие естественно возникающие стохастические процессы, подобные среднемесячным температурам и уровням дождевых осадков, фиксируемым на метеостанциях, в значительной степени негауссовы.

Модель довольно гибкая; она позволяет описывать большое разнообразие процессов путем подбора функций Рассмотрим, например, мультипликативный процесс

Его можно выразить в форме считая логарифмическими функцими.

Важным при выборе модели является вопрос о роли ошибок в наблюдениях. Часто наблюдения подвержены ошибкам в силу низкой точности датчиков и схем. Это особенно справедливо в случае, когда датчики расположены на открытом воздухе (например, датчики уровня осадков). Обозначим теоретическое значение выходной переменной обычным символом а наблюденное значение — символом Величина непосредственно не наблюдаема. Связь дается в форме

где шум последовательность независимых одинаково распределенных величин с нулевым средним. При необходимости можно постулировать более сложную связь между у и у. Одна из целей моделирования — выяснить необходимость введения в модель шума измерения Важно исследовать, достаточно ли одной последовательности возмущений для адекватного представления наблюдений или же необходимо введение шума измерения В приложениях к космонавтике (например, в задаче сопровождения спутников) динамика системы (а именно, законы Кеплера) хорошо изучена, и введение шума измерения может быть оправдано тем, что оценки состояния и предсказания, получаемые с помощью более сложной модели, дают лучшие результаты по сравнению с получаемыми при простой модели, в которой шум опущен. С другой стороны, в типовых экономических системах динамика неизвестна, коэффициенты , должны быть оценены по наблюдениям, и совсем неочевидно, что оценки состояния и предсказания, получаемые по сложным моделям с шумом будут обязательно лучше, чем выводимые с помощью простых, моделей без