9b. Причинность и построение предварительных моделей

9b.1. Определение причинности.

Понятие причинности обычно используется в прикладных науках, где можно непосредственно проверить, является ли одпа переменная связанной причинной связью с другой переменной. В этой книге мы имеем дело с

методами построения моделей по исходным данным, являющимся результатом сложных процессов, с которыми нелегко экспериментировать. В частности, нельзя зафиксировать одну из переменных и наблюдать изменения других переменных. Следовательно, мы не можем быть полностью информированы о влиянии различных переменых друг на друга. Таким образом, приходится ввести определение причинности, которое будет слабее, чем используемое в экспериментальных исследованиях. Одно такое определение дано ниже. Эквивалентные определения даны Симсом (1972) и Кейнсом, Ченом (1974).

«Назовем причиной (и обозначим если точность предсказания полученного по наблюдениям выше, чем по наблюдениям только Это определение можно формализовать следующим образом.

Определение. (Гренджер, 1963). Переменная называется причинной для переменной и обозначается если выполняется следующее неравенство:

Применение этого определения для моделирования дается следующей теоремой.

Теорема 9b.1. в том и только том случае, когда коэффициент в уравнении, отвечающем минимуму ошибки предсказания в семействе моделей включающих не более двух переменных отличен от нуля.

Доказательство теоремы тривиально.

Таким образом, легко проверяется причинная связь, когда мы имеем дело только с двумя переменными. Сначала моделируем переменную используя только ее прошлые значения. После этого мы моделируем используем прошлые значения обеих переменных и Если коэффициенты при статистически значимы, то из этого следует в смысле Гренджера (1963).

Ситуация, однако, усложняется, если имеется более двух переменных. Рассмотрим в качестве примера случай трех переменных таких, что Предположим также, что

В этом случае правая часть уравнения для которая дает минимум среднеквадратической ошибки, содержит только но ни одного Следовательно, если имеется более двух переменных, например, из утверждения по определению, данпому выше, не следует, что

для некоторого должен содержаться в уравнении для дающем минимум среднеквадратической ошибки.

Если имеются две переменные такие, что то вход у в обоснованной модели для называется экзогенным для переменной Синонимом для экзогенного входа является вход без обратной связи. Проверка входа на экзогенность является важным моментом в задаче оценки параметров.

Определение причинности, данное выше, является удовлетворительным до тех пор, пока мы ограничиваемся предсказанием. Некоторые другие аспекты требуют дальнейшего исследования. Например, пусть и построим обоснованную модель для у, содержащую члены Можно ли по полученному уравнению утверждать, что известное изменение в вызовет заранее предсказанное изменение в Ответ будет, очевидно, отрицательный до тех пор, пока не будут представлены дополнительные критерии для обоснования такого требования. Трудность состоит в возможном многообразии моделей. Например, могут быть два уравнения для дающие одинаковую среднеквадратическую ошибку, одно из которых имеет члены вида в то время как другое — члены вида Согласно первой модели изменения не влияют на но это утверждение противоречит второй модели. Конечно, можно попытаться сравнить две модели с помощью критериев обоснования и сделать выводы только относительно обоснованной модели. Когда имеешь дело со сравнительно простыми или отдельными физическими или естественными процессами, обоснованная модель оказывается достаточно полезной для предсказания изменений переменных, вызванных изменениями других переменных. Однако в болре сложных процессах, таких как эксперименты по изменению погоды или эконометрические эксперименты, очень трудно точно предсказать изменения переменных, вызванные изменениями других переменных.