Глава III. СТРУКТУРА ОДНОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Введение

В этой главе мы рассмотрим структуру одномерных стохастических разностных уравнений. Рассмотрим сначала разностные уравнения без экзогенных входов. В стохастическое разностное уравнение могут входить различные составляющие, такие как, например, члены авторегрессии, скользящего среднего, детерминированные функции тренда типа синусоид или полиномов с постоянными или зависящими от времени коэффициентами. Кроме того, уравнение может быть записано или с помощью выходной переменной у, или с помощью одношаговой разности или с помощью -шаговой разности что приводит к классу моделей авторегрессии и интегрированного скользящего среднего (ARIMA). Далее, разностное уравнение может быть записано для нелинейных функций у, таких как, например, Это дает возможность получить разностное уравнение слабостациоиарное, ковариационно-стационарное или нестационарное соответствующим выбором членов разностного уравнения. Основным вопросом этой главы является следующий: для данного эмпирического временного ряда определить, какие классы моделей наилучшим образом соответствуют этому временному ряду? Поскольку вопрос достаточно общий, нужен пример. Рассмотрим временной ряд на рис. 3а.1.1, представляющий месячный сбыт некой компании X (Четфилд и Протеро, 1973). Ясно, что этот ряд содержит сильно возрастающую компоненту, модулированную приблизительно периодической компонентой. Ниже будет показано, что существуют по крайней мере два важных класса моделей, временные ряды которых ведут себя таким образом. Первым является класс ковариационно-стационарных процессов, включающих разностное уравнение с авторегрессионными членами и детерминированными трендами вида Вторым является класс моделей авторегрессин и интегрированного скользящего среднего, описывающих сезонные явления. Модели каждого из этих двух классов могут породить временные ряды, аналогичные показанным на рис. 3а.1.1. Нужно рассмотреть все подходящие классы моделей, прежде чем выбрать нужный класс, поскольку качество наилучшей модели в каждом классе может быть различным, а

вычислительные трудности построения наилучшей модели в каждом классе также значительно различаются. Например, задачи предсказания и оценивания параметров для сезонных моделей ARIMA значительно сложнее в вычислительном отношении, чем соответствующие задачи для ковариационно-стационарных моделей. Мы должны рассмотреть сначала простейший класс моделей, а затем перейти к другому классу, если наилучшая модель в первом классе окажется неудовлетворительной.

Рис. 3а.1.1. Данные ежемесячных наблюдений сбыта компании X (ряд S).

Мы также должны будем рассмотреть нестационарные модели с коэффициентами, зависящими от времени.

Окончательный выбор класса моделей для заданного временного ряда рассматривается в гл. VIII. Сейчас мы ограничимся исследованием доминирующих черт временных рядов, включающих различные компоненты, и определением различных классов моделей, которые могут породить временные ряды с подобными характеристиками. Некоторые общие рассуждения по моделированию эмпирических временных рядов могут быть найдены в книгах Бокса, Дженкинса (1970), Кендалла (1973), Парзена (1974) и др.

Выбор подходящей временной шкалы для моделирования рассматривается ниже. Предположим, у нас имеются значения процесса с часовым интервалом, а нас интересует модель, у которой главная цель — получить предсказания на 12 часов вперед. Нужно решить вопрос о том, какая единица больше подходит для построения модели — 1 час или 12 часов. Иначе вопрос должен быть поставлен так: должна ли строиться модель для данных с одночасовым интервалом или для -часовых агрегированных данных Эта проблема связана также с эффектом группирования. Необходимо также обсудить вопрос: какая модель даст лучшее предсказание, агрегированная с -часовым интервалом или неагрегированная с часовым интервалом? Если

наиболее подходящая модель для данных с одночасовым интервалом принадлежит некоторому классу, например классу ARMA-моделей, то наиболее подходящая модель для данных с -ча-совым интервалом может принадлежать совершенно другому классу, такому как класс ковариационно-стационарных моделей. Следовательно, проблему, поставленную здесь, нельзя полностью отделить от раннее сформулированной проблемы.

Ниже мы остановимся на понятии наилучшей моделя, которое определяется с помощью ряда критериев; эти вопросы подробнее обсуждаются в гл. VIII.