4d. Точность оценивания
При доказательстве теоремы 4а. 1 мы ввели оценку неизвестного вектора 0°, построенную по наблюдениям на конечном интервале. Структура этой оценки такова, что знание распределения вероятностей возмущений не требуется. Такая оценка называется квазимаксимально правдоподобной, поскольку в случае гауссовского распределения возмущений она может интерпретироваться как оценка максимального правдоподобия, вводимая ниже. Подробнее эта оценка рассматривается в гл. VI. Здесь же будет изучена отвечающая ей матрица вторых моментов ошибки этой оценки. Условия минимума среднего квадрата ошибки в классе асимптотически несмещенных оценок будут исследованы с помощью неравенства Крамера — Рао (Рао, 1965).
4d.1. Среднеквадратическая ошибка квазимаксимально правдоподобной оценки.
Дадим определение квазимаксимально правдоподобной оценки. Вектор неизвестных коэффициентов уравнения
обозначим через 
, а ковариационную матрицу возмущения 
через 
Пусть 
— произвольный вектор с тем же числом составляющих, как и у 
определяются вектором 
так же, как 
вектором 
. Обозначим через 
оценку процесса 
определяемую рекуррентно из
по заданному 
и по наблюдениям вплоть до момента времени 
Рассмотрим функцию потерь
Квазимаксимально правдоподобная оценка вектора 
, основанная на наблюдениях 
есть значение 
, минимизирующее 
оно обозначается через 
Как показано в 
В приложения 4.1, при больших 
оценка 
имеет следующую матрицу вторых моментов ошибок: 
или какое-либо другое, ему эквивалентное, гарантирует существование обратной матрицы в 
Матрица в 
есть известная информационная матрица Фишера, широко применяемая в статистической литературе.
содержит неизвестный вектор 9°, его можно использовать для получения лишь качественных выводов о точности оценки 8. Приближенное выражение для матрицы вторых моментов ошибок оценки 
можно получить, заменяя 8° в 
его оценкой 8. Выражение 
можно оценить алгебраическими методами лишь в относительно простых задачах, подобных примеру 4d.2. Оценивание выражения 
подробнее рассматривается в гл. VII.
