6а.4. Оценки условного максимального правдоподобия в случае многомерных систем.

6а.4.1. Вид оценок условного максимального правдоподобия.

Напомним, что такую оценку можно пайти, если статистически независимы или если уравнение не содержит :

Вообще говоря, довольно трудно получить явные выражения для значений максимизирующих функцию правдоподобия относительно Мы представим два частных случая, в которых правила оценивания, получаемые по методу условного максимального правдоподобия, могут быть выражены в замкнутой форме как функции от наблюдений. В других случаях задача максимизации должна решаться численными методами.

Случай (I). известна, т. е. состоит только из одного элемента. Максимизация относительно 0 эквивалентна минимизации относительно 0:

Приравнивая нулю первую производную от по 0, можно

получить следующее решение вышеупомянутой задачи максимизации:

Сравнительно легко доказать существование обратной матрицы в для всех достаточно больших при сделанных ранее предположениях.

Случай (II). Матрица неизвестна, а уравнение для у имеет следующий специальный вид, который выбирается, когда полностью отсутствует какая-либо информация о системе:

или

где

известные функции, -мерные векторы, мерный вектор и

Теорема 6а.1. Оценка условного максимального правдоподобия 8 для параметра вышеописанной системы равна

Соответствующая оценка для равна

Эта теорема доказана в приложении 6.1. Этот результат несколько озадачивает, поскольку оценка получается рассмотрением только уравнения в без учета остальных уравнений, и совокупность таких оценок дает оценку условного максимального правдоподобия для . Этот результат справедлив только тогда, когда вектор и тот же во всех уравнениях. для

Если имеется только одно уравнение, например уравнение для у 1, а уравнения, которым удовлетворяют остальные переменные неизвестны, то оценка задаваемая не обязательно будет оценкой условного максимального правдоподобия. Она будет лишь оценкой на основе ограниченной информации. Если также имеют вид то эта оценка на основе ограниченной информации будет также и оценкой условного максимального правдоподобия.

6а.4.2. Свойства оценок условного максимального правдоподобия.

Вначале рассмотрим оценки частного вида в которые получаются при известной Имеем

Эти результаты установлены в приложении 6.1, В.

В приложении 6.1, С показано, что выражения остаются справедливыми даже для общих оценок условного максимального правдоподобия, когда не предполагается знание В приложении 6.4 будет показано, что приведенные здесь оценки максимального правдоподобия имеют асимптотически минимальную дисперсию в том смысле, что дисперсия, выражение для которой приведено выше, отличается от нижней границы в неравенстве Крамера — Рао на величину порядка .