4с. Оцениваемость систем с возмущениями типа AR

Начиная разработку основной модели в разделе этой книги, мы отправлялись от разностного уравнения для у, содержащего члены тренды, входной сигнал и возмущение имеющее структуру процесса скользящего среднего. В этом параграфе мы исследуем случай, когда возмущение представляет собой авторегрессионный процесс. Такого рода модели используются в эконометрике.

Пусть заданный процесс определяется уравнением

где авторегрессионный процесс, заданный уравнением

Многочлены предполагаются удовлетворяющими предположению Подставляя для у получаем авторегрессионный процесс

где

Ясно, что многочлен в оцениваемый. Это не означает, однако, что множители можно однозначно восстановить по без какой-либо дополнительной информации. В самом деле, рассмотрим какую-либо другую факторизацию :

где также многочлены. Тогда получим другую модель для

где шумовая последовательность, удовлетворяющая Невозможно выбрать «истинную» модель в классе возможных моделей, описываемых уравнениями Неопределенность можно устранить только при наличии дополнительной информации о процессе Отмеченную неопределенность подчеркивал Кендалл (1971), приведший следующий пример.

Пример Пусть задан процесс у:

Подставляя получим авторегрессионный процесс

Ясно, что оцениваемы. Используя эти коэффициенты, для неизвестных можно получить два возможных решения Без дополнительной информации невозможно определить по этим решениям истинные значения параметров.