2h. Предсказание в системах с зашумленными наблюдениями

2h.1. Форма алгоритма прогноза.

В предыдущей главе сигнал предсказывался по его прошлым значениям в предположении, что эти значения могут быть измерены точно. Во многих

случаях это допущение не обосновано и может быть вообще неверным. Наблюдаемая величина, например есть сумма сигнала и белого шума с нулевым средним. Нам хотелось бы построить прогноз по наблюдениям

Рассмотрим систему, описываемую уравнением, содержащим только члены авторегрессии и скользящего среднего, и допустим, что

Последовательность последовательность независимых одинаково распределенных величин с ковариационной матрицей и не зависит от Обозначим через ковариационную матрицу вместо обычного обозначения Можно записать с помощью переменных состояния и, следовательно, получить требуемый алгоритм прогноза стандартными методами теории Калмана (1963). Этот метод здесь не приводится, так как его можно найти во многих книгах. Вместо этого рассмотрим другой подход, который дает возможность глубже понять структуру процесса давая в то же время требуемые алгоритмы прогноза.

Основная идея (Кашьяп, 1970а) заключается в получении уравнения ARMA-модели для

где последовательность независимых одинаково распределенных шумов с нулевым средним и ковариационной матрицей Ниже будут приведены точные выражения для через матрицы Используя можно получить выражение для алгоритма прогноза на шаг вперед с помощью

Используя материал предыдущих параграфов и уравнение можно получить следующий алгоритм прогноза для на один шаг вперед по значениям

2h.2. Уравнения ARMA-модели для зашумленного выхода.

Положим Выражая у в через х, получим

Пусть

Первый член в является выражением скользящего среднего порядка Второй член в представляет собой скользящее среднее порядка Следовательно, правая часть может быть представлена в форме скользящего среднего порядка (ввиду

сделанного выше допущения). Обозначим это представление через где дискретный белый шум с нулевым средним и ковариационной матрицей Следовательно, имеет место

Для выражения коэффициентов матрицы через необходимо приравнять соответствующие ковариационные функции процесса для представлений Пусть

Напомним, что

где

Аналогично,

Поскольку независимые процессы, из следует

Далее, можно использовать выражение для и получить выражение для ковариаций

Приравнивая соответствующие значения ковариаций для получим матричных

уравнений неизвестными

Уравнения могут показаться очень громоздкими, но их можно решить относительно Обычно решение этих уравнений не единственно, и следует выбирать то решение, у которого соответствующий полином отвечает допущению т. е. нули его определителя лежат за пределами единичного круга. Проиллюстрируем это на примере.

Пример 2h.1. Пусть скалярный сигнал авторегрессионный процесс:

Тогда уравнение ARMA для имеет вид

Замечая, что получаем из два нелинейных совместных уравнения для

Деля на получим квадратное уравнение для

Из этого уравнения находим Из двух решений выбирается то, которое удовлетворяет условию так, чтобы выполнялось условие обратимости Используя это решение и можно получить После нахождения можно предсказать используя (2h.2.10).