11а.2. Правдоподобные классы моделей.

11а.2.1. Детерминированные модели.

При построении детерминированных моделей исходят из следующих двух предположений: скорость изменения численности популяции пропорциональна ее численности; скорость изменения пропорциональна также функции монотонно убывающей со временем. Эта функция вводится для учета возможных ограничений ресурсов и влияния хищников, пожирающих особей популяции. Дифференциальное уравнение имеет вид

Функция выбирается так, чтобы численность популяции стремилась к некоторому фиксированному значению при стремящемся к бесконечности. Стабилизация численности популяции при есть свойство модели, которое будет тщательно изучено.

Мы рассмотрим два способа выбора функции

Модель Верху лета:

Соответствующее решение у уравнения равно

Это классическая логистическая функция. Начиная от значения где численность постоянно возрастает во времени и стремится к при стремящемся к бесконечности.

B. Модель Гомпертца:

Соответствующее решение у равно

Заметим, что функция монотонно убывает при

стремлении к бесконечности, стремится к положительному числу

Даже если детерминированные модели дают хорошее совпадение с данными, возможность прогноза по ним довольно ограниченная. Более того, трудно представить, чтобы временные ряды со значительными флуктуациями можно было с успехом моделировать с помощью чисто детерминированной модели.

11а.2.2. Стохастические модели.

Естественное обобщение модели (11а.2.1) на стохастический случай получается добавлением на входе случайного процесса, отражающего совокупное действие влияющих на популяцию экзогенных факторов, таких как пища, климат, хищники. Как и выше, интенсивность случайного входного сигнала в любой момент времени пропорциональна численности популяции в тот же момент. Таким образом, стохастический вариант уравнения (11а.2.1) имеет вид

где - другой случайный процесс. Простейшее предположение относительно считать белым шумом с нулевым средним. Ясно, что такое предположение нереалистично. Трудно представить, чтобы совокупное действие всех важных, влияющих на популяцию, факторов, подобных климату и пище, было бы некоррелированным во времени. Мы будем последовательно ослаблять это предположение.

А. Стохастическая модель Верхулста с белым шумом

Уравнение (11а.2.6) становится аддитивно зависящим от если записать его относительно

Поскольку мы располагаем лишь наблюдениями в дискретные моменты времени, то непрерывное уравнение (11а.2.7) надо записать в дискретной форме, заменяя производную ее оценкой по первой разности:

где малый интервал времени. Подставляя в (11а.2.7) аппроксимацию (11а.2.8) производной, получим следующее разностное уравнение:

Пусть за единицу времени принят один год. Полагая

перепишем уравнение в виде

где последовательность независимых одинаково распределенных величин с нулевым средним и неизвестной дисперсией Параметры можно эффективно оценить методами гл. VI. В классе асимптотически несмещенных оценок получаются оценки с асимптотически наименьшей дисперсией.

В. Стохастические варианты модели Гомпертца с возмущением, не являющимся белым шумом. Стохастический вариант модели Гомпертца можно записать в виде

Разделим на у:

В противоположность предыдущему случаю, мы предположим, что входное возмущение не является белым шумом, а подчиняется стохастическому дифференциальному уравнению первого порядка

где белый шум с непрерывным временем и нулевым средним, сумма постоянного слагаемого и функций тренда типа Синусоидальные члены отражают влияние климатических или метеорологических факторов, как это было в задаче о речном потоке. Исключим из уравнений Дифференцируя по получим

Подставим в уравнение выражение для через получаемое из а затем вместо производной подставим ее выражение через получаемое из Тогда будем иметь

или

где Записывая в дискретной форме, получим стохастическое разностное уравнение

где последовательность одинаково распределенных независимых величин с нулевым средним и одинаковой дисперсией

Мы исследуем три способа задания Случай (II) исследуется по той причине, что им описывается составляющая роста во временных рядах. Аналогичным образом, случаю (III) отвечают систематические колебания приблизительно с периодом наблюдаемые, например, во временных рядах для численности популяции рыси. Таким образом, мы приходим к трем типам стохастических разностных уравнений, выводимых из моделей Гомпертца:

С. Другие стохастические модели. Все модели, определяемые уравнениями или стационарны или ковариационно-стационарны относительно это означает, что дисперсия процесса стремится к постоянной величина при стремящемся к бесконечности. При попытке моделирования последовательностей со строго экспоненциальным ростом, таких, как численность населения США, могут оказаться полезными модели, для которых переменная имеет экспоненциально растущие среднее и дисперсию. Этого можно достигнуть, с помощью следующей мультипликативной модели:

где удовлетворяет процессу типа

Используя получаем следующее уравнение для

где Таким образом, описывается уравнением типа IAR порядка с постоянным слагаемым.