5с. Диагональные канонические формы

5с.1. Базисные формы с произвольным p

Мы получим каноническую форму произвольного элемента в матрица В канонической четверки которого диагональна. В этой форме положим Как и прежде, мы введем каноническое множество используя предположение удовлетворяет (А10);

Теорема 5с.1 (каноническая форма II). (Кашьяп, Нэсбург, 1974.) (I) Рассмотрим четверки принадлежащие и такие, что тогда Для любой заданной принадлежащей существует такая, что

Доказательство части (I) приведено в приложении 5.1, доказательство части (II) вытекает из приводимого ниже алгоритма.

Алгоритм построения канонической формы . Алгоритм переводит произвольную четверку в соответствующую четверку канонической формы II. Пусть обозначим где взаимно простые. Определим где выбирается так, что а означает наименьшее общее кратное. Положим Тогда требуемая четверка.

Замечание. Рассмотрим разностное уравнение для четверки, имеющей каноническую форму II:

Заметим, что уравнение для содержит лишь составляющую помехи. Поэтому уравнение для выходной переменной является обычным скалярным уравнением авторегрессионного типа со скользящим средним, входным шумом и наблюдаемыми входными сигналами Таким образом, неизвестные коэффициенты уравнения можно оценить по прошлым наблюдениям процессов у и безотносительно к уравнениям для при Поэтому для целей оценивания многомерное уравнение можно расщепить на отдельные одномерные уравнения. Такая декомпозиция является одним из важных преимуществ используемой канонической формы. Этого преимущества не имеет каноническая форма, в которой диагональна А, а не В (Мейн, 1968).

Другим преимуществом канонической формы II является то, что она использует только но не Если каждое из отдельных уравнений системы взято в упрощенной форме, то и все множество уравнений не допускает дальнейшего упрощения. Такая декомпозиция не имеет места для канонической формы

Однако этой декомпозиции свойствен один недостаток. Во-первых, оценивая неизвестные параметры отдельных уравнений, мы игнорируем факт коррелированности возмущений в соответствии с ковариационной матрицей Пренебрежение этой информацией уменьшает точность оценок. Оценки коэффициентов, получаемые при использовании декомпозиции, менее точны, чем те, которые получаются при одновременном оценивании всех неизвестных параметров многомерной системы, скажем, по методу максимального правдоподобия, когда учитывается факт возможной недиагональности

Другой причиной возможной неэффективности оценок, получаемых при использовании декомпозиции, является возможная избыточность параметров канонической формы И. Часто значение меры сложности для канонической формы II больше, чем для формы Если рассмотреть систему в канонической форме I с оцениваемыми коэффициентами, то та же система в канонической форме II будет содержать оцениваемых коэффициентов, где Избыточность вектора коэффициентов канонической формы II может быть выражена в виде множества

алгебраических соотношений, которым удовлетворяет вектор :

Эти соотношения не учитываются при раздельном оценивании неизвестных параметров в уравнениях, что приводит к потере точности оценивания. Мы проиллюстрируем избыточность (или дополнительную сложность) параметров канонической формы II следующим примером.

Пример Рассмотрим следующую систему в канонической форме I с

Здесь вектор коэффициентов, входящих в т. е. так что Пусть оценка максимального правдоподобия параметра 64. Для получения канонической формы II системы используем алгоритм, изложенный при доказательстве теоремы Разностное уравнение в канонической форме II имеет вид

где

и

Положим

Мы можем оценить двумя способами. В первом способе заменим переменные соответствующими оценками из Соответствующую оценку из обозначим через Во втором способе получим оценку параметра из первого скалярного уравнения в и оценку параметра из второго уравнения в

Пусть При втором методе оценивания требуется оценить всего 11 параметров, поскольку игнорируются содержащиеся в соотношения, такиекак и др. В то же время при вычислении оцениваются всего лишь 6 неизвестных параметров. Естественно, что оценка использующая меньшую априорную информацию и содержащая большее число оцениваемых параметров, менее точна, чем оценка выводимая из

Заметим также, что избыточность канонической формы II приводит к трудностям в задаче о минимальной реализации в пространстве состояний, возникающей в работах по оптимальному управлению.

Несмотря на эти недостатки, каноническая форма II очень полезна, поскольку все методы одновременного оценивания неизвестных параметров не работоспособны даже при малых значениях порядка 4 или 5. Например, в случае требуется оценить одновременно не менее параметров, если используется каноническая форма . В подобных ситуациях метод декомпозиции при оценивании является единственным разумным способом поведения. А это возможно только при использовании канонической формы II. Более того, если модель в канонической форме II построена, можно определить соответствующие передаточные функции а затем получить по ним каноническую форму I, удаляя в передаточных функциях все те полюсы и нули, которые приблизительно равны.

5с.2. Базисная форма с диагональной матрицей р.

Рассмотрим теперь каноническую форму в которой диагональна вместе с В (Кашьян и Нэсбург, 1974). В этом случае не может быть всегда равна единичной матрице, а может быть лишь треугольной матрицей с единицами на главной диагонали. Мы определим соответствующее каноническое множество 9з следующим образом:

All. обладает следующими свойствами: диагональна с нижнетреугольна с диагональна.

Теорема 5с.2 о канонической форме III аналогична теореме 5с. 1, с тем лишь исключением, что каноническое множество в теореме замечено на в теореме

Теорема 5с.2 (каноническая форма III). (I) Для двух четверок из таких, что имеем Для любого

заданного существует такая, что

Доказательство этой теоремы приведено в приложении 5.1. Алгоритм преобразования к канонической форме III произвольного элемента . С помощью какого-либо метода представим заданную ковариационную матрицу в виде

где диагональна, а нижнетреугольна с Пусть где взаимно просты.

Положим где выбирается так, чтобы Пусть Тогда четверка есть каноническая форма III с той же спектральной плотностью, какую имеет четверка

Обоснование алгоритма содержится в доказательстве теоремы 5с.2, приведенном в приложении 5.1.

Каноническая форма III сохраняет принципиальное преимущество канонической формы II, состоящее в возможности декомпозиции многомерной системы на ряд одномерных систем. Поскольку в канонической форме диагональна, то для этой формы устраняется одна из причин неэффективности оценки вектора неизвестных коэффициентов, свойственная канонической форме II: поскольку составляющие шума в данном случае некоррелированы, то ничего не теряется, если рассматривать каждое из разностных уравнений по отдельности.

Однако параметрическая избыточность для канонической формы III обычно несколько больше, чем для канонической формы II, и вызываемая этой избыточностью неэффективность оценки сохраняется. Приведем пример, иллюстрирующий более высокую избыточность канонической формы III.

Пример 5с.2. Рассмотрим уравнение описывающее ту же систему, что и в примере 5с. 1, с ковариационной матрицей приведенной ниже. Для получения канонической формы III, , используем алгоритм, приведенный выше. Опишем основные этапы. Пусть

— ковариационная матрица шума в канонической форме Факторизуя, получаем

где

ковариационная матрица шума в канонической форме III. Каноническую форму III построим в два шага. Перепишем уравнение системы таким образом, чтобы шум имел ковариацию

или

где Преобразуем так, чтобы матрица стала диагональной:

где

Каноническая форма III имеет 13 коэффициентов тогда как каноническая форма II имеет 11, а каноническая форма коэффициентов. Этот пример весьма типичен как иллюстрация относительной избыточности трех канонических форм.

5с.3. Оцениваемость.

Вопросы оцениваемости для разностных уравнений с четверкой в канонической форме Пили III можно обсуждать непосредственно в терминах теории оцениваемости одномерных систем. Рассмотрим разностные уравнения в канонической форме II или III. Уравнение для можно рассматривать как авторегрессионную систему со скользящим средним, имеющую на входе наблюдаемые Поскольку удовлетворяет то каждое из индивидуальных уравнений в удовлетворяет Поэтому

оцениваемость коэффициентов каждого из уравнений является тривиальным следствием предположений, которым удовлетворяют канонические формы.

На самом деле некоторые из предположений можно ослабить, если нас интересует только вопрос об оцениваемости, а не о единственности канонических форм. Ясно, что можно ослабить поскольку используется теория оцениваемости для одного уравнения. Аналогичным образом, в разностное уравнение можно ввести функции тренда, удовлетворяющие свойство оцениваемости все еще сохраняется.