11а.4. Ряд ежегодной численности популяции американского журавля.

Мы рассмотрим численность популяции американского журавля в США за 1938-1972 гг., данные о которой приводятся в работе Миллера и Боткина (1974). Ряд изображен на рис. 11а.4.1. Ясно видна строго растущая составляющая ряда, наложенная на нерегулярно изменяющуюся составляющую.

В силу наличия сильно нерегулярных флуктуаций нецелесообразно рассматривать детерминированные модели. Мы рассмотрим лишь четыре класса моделей: . Соответствующие уравнения приведены ниже.

Пусть Тогда

Уравнение — это стохастическое обобщение модели Верхулста, т. е. уравнение вида Уравнение 92 есть обобщение на стохастический случай модели Гомпертца, описываемое уравнением (11а.2.17).

Рис. 11а.4.1. Наблюденная и предсказанные численности популяции американского журавля: X — прогноз по модели по модели

Уравнение есть модель типа оказавшаяся столь успешной при моделировании численности населения США. Уравнение — обычный авторегрессионный процесс — использовалось в ранних исследованиях популяции (Миллер, Боткин, 1974). Мы хотим показать, что использование такой неподходящей модели, как приводит к понижению качества предсказания. Мы называем модель неподходящей, поскольку ею описывается лишь слабо стационарный процесс, что не имеет места в случае популяции американского журавля.

Для оценки параметров различных уравнений и соответствующих остаточных дисперсий мы используем наблюдения за период с 1938 по 1972 г. Соответствующие модели , задаются уравнениями

С помощью методов правдоподобия раздела 8b.1 можно произвести сравнение классов. Соответствующие статистики приведены ниже число параметров модели

Поскольку наибольшей из является статистика то выбираем класс Обратим внимание на близость значений

Сравнение классов можно произвести также методом прогнозирования из раздела 8b.4.1. Построим модели, наилучшим образом согласованные с данными за 1938-1962 г., и используем их для предсказания на год вперед численности популяции в 1963- 1971 гг. Модели , описываются уравнениями

Значения прогноза, ошибки предсказания и их средние и среднеквадратические значения приведены в табл. 11а.4.1. Величины прогноза, полученные с помощью моделей представлены графически на рис. 11а.4.1.

Мы обнаруживаем, что среднеквадратическая ошибка для меньше ошибки для трех других моделей более чем в 2,5 раза, так что класс оказывается наиболее подходящим. Прогностические возможности моделей существенно различны, несмотря на то, что статистики правдоподобия близки одна к другой. Из табл. 11а.4.1 мы видим, что средние значения ошибок прогноза для всех моделей, за исключением также велики, что доказывает неадекватность этих моделей исходным данным. Следует отметить также расхождение между соответственными коэффициентами для пар моделей Расхождение минимально для пары

Остатки для наилучшим образом согласованной модели не отвергаются критериями адекватности на 95-процентном уровне значимости (рис. 11а.4.2 и 11а.4.3), показывая, что предположения, положенные в основание модели, приблизительно верны.

Итак, модель более подходит для описания популяции американского журавля, чем модели Верхулста или Гомпертца. Среднее и дисперсия выходного сигнала этой модели растут экспоненциально во времени.

Рис. 11а.4.2. Нормализованная кумулятивная периодограмма остатков по модели численности американских журавлей.

Рис. 11а.4.3. Коррелограмма остатков по модели численности американских журавлей. Пунктирными линиями отмечены границы двух стандартных отклонений для ошибок.

Среднеквадратическая ошибка прогноза для авторегрессионной модели приблизительно в 2,5 раза выше, чем для

Рассматривая численности популяции в различных возрастных группах, можно получить более изощренные многомерные модели.