4b. Оцениваемость в системах при наличии шумов в наблюдениях

Пусть выходной сигнал у удовлетворяет разностному уравнению

Предположим, что непосредственно ненаблюдаема. Фактически наблюдаемой является величина определяемая как

где аддитивный дискретный белый шум с нулевым средним и дисперсией Дисперсию обозначим через Нас интересуют условия, при которых коэффициенты многочленов и дисперсии оцениваемы по полубесконечной последовательности одних лишь Основной идеей используемого ниже метода является предположение, что процесс типа ARMA, подобный определяемому уравнением Эта идея уже использовалась в § 2h.

Задача с зашумленными наблюдениями имеет некоторое значение для моделирования и отображения процессов окружающей среды, таких как уровни ее загрязнения или речные потоки. Часто информация об ошибках наблюдений, содержащаяся в публикуемых записях временных рядов, не соответствует действительности. По наблюденным временным рядам следует принять решение — выбрать ли модель типа т. е. явно ввести шум наблюдений, или же выбрать более простую модель без явно входящего шума в наблюдениях. В последнем случае шум наблюдения включается как слагаемое в возмущение Мы уже обращали внимание на то обстоятельство, что более сложная модель не обязательно ведет к лучшим результатам. В ряде случаев простая модель ARMA может оказаться лучше более сложной модели типа сигнал шум. Пример 4b.1 иллюстрирует метод выбора типа модели в таких задачах. Приведем следующую теорему (Кашьяп, 1970а) об оцениваемости систем

Теорема 4b.1. Рассмотрим сигнал у и наблюдение х, удовлетворяющие уравнениям где два независимых процесса с нулевыми средними и дисперсиями причем независим как от так и от Пусть система удовлетворяет предположениям Тогда условие достаточно для оцениваемости коэффициентов многочленов и дисперсий где

Доказательство. Как было показано в процесс х является процессом типа ARMA,

где

Процесс дискретный белый шум с нулевым средним и дисперсией Как показано в § 2h, , где среднеквадратический прогноз (на шаг вперед) процесса по значениям многочлен степени коэффициенты которого можно найти приравниванием ковариаций процессов в левых и правых частях уравнений для значений аргументов

Покажем сначала, что многочлены оцениваемы по наблюдениям процесса т. е. что справедливость предположения для пары многочленов влечет его справедливость для пары Доказательство проведем от противного. Предположим, что не удовлетворяет Тогда имеют общий левый делитель, скажем, Сокращая на приведем уравнение к

где Используя и умножая слева на получим

Степень многочлена равна и, следовательно, степень не превышает Поэтому при значениях аргумента, больших значения автокорреляционной последовательности для процесса в правой части тождественно равны нулю. Но процесс в правой части имеет ненулевую корреляцию при всех значениях, поскольку многочлен не делится на в силу Это противоречие доказывает, что удовлетворяет предположению и коэффициенты многочленов оцениваемы.

Покажем далее, что коэффициенты В и можно определить, зная и дисперсию шума Используем уравнения записанные в виде

Из первого уравнения можно определить R из остальных уравнений определяются

Приведем пример, иллюстрирующий выбор между моделью с шумом в наблюдениях и моделью без шума.

Пример Предположим, что для скалярного процесса х было подобрано стохастическое разностное уравнение; при этом вполне удовлетворительным оказался процесс

Имеем две модели.

Модель 1. .

Модель 2. Уравнение и тождество Мы хотим выяснить, проливают ли какой-либо свет на проблему выбора между этими двумя моделями значения коэффициентов Рассмотрим модель 1. Используя ее, можно вывести авторегрессионное уравнение для соответствующие коэффициенты должны удовлетворять соотношениям

выводимым из в качестве частного случая. Упростим Выразим из второго уравнения в подставим полученное выражение в первое уравнение в и разделим полученное уравнение на

Упрощая получим

Поскольку в силу из вытекает

Следовательно, если коэффициенты удовлетворяют неравенству то применима модель 1. И хотя модель 2 также применима, все же модель 1 предпочтительнее, поскольку она более реалистична. Если условие не выполнено, то модель 1 неприменима и единственно возможной является модель 2.

Условие удовлетворяется, например, для модели, описывающей ряды ежемесячных наблюдений солнечных пятен. Это означает, что ежемесячные наблюдения солнечных пятен, можно рассматривать как сумму процесса AR первого порядка и шума. Присутствие в такого рода процессе шума наблюдения представляется вполне реалистическим.