9с.3. Проверка гипотез.

Как и в гл. VIII, метод проверки гипотез ограничен сравнением пар AR-моделей

которые отличаются друг от друга одним слагаемым. Могут появиться, в крайнем случае, дополнительные члены детерминированного тренда, одинаковые для обоих уравнений. Нельзя сравнивать логарифмически преобразованную модель с непреобразованной, как в Преимущество этого метода состоит в том, что он дает формулу для вероятности ошибки соответствующего решающего правила.

9с.3.1. Многомерный вариант критерия отношения дисперсий.

Сравним две авторегрессионные модели порядка Некоторые элементы матрицы будучи зависимыми от причинных связей между переменными, могут быть тождественно равными нулю, так что не всегда нужно оценивать все элементы матриц

Пусть оценки условного максимального правдоподобия матриц А, в уравнениях соответственно, полученные по одному и тому же множеству наблюдений Пусть

Пусть числа коэффициентов, оцениваемых в

уравнениях порядка соответственно. Рассмотрим следующую статистику

Если модель порядка правильна, то должна иметь следующее распределение:

По -распределению можно выбрать подходящий порог. Модель порядка принимается, если численное значение меньше порогового, и отвергается в противном случае.

Утверждение требует дополнительного рассмотрения. Полного доказательства по-видимому, не существует, однако это распределение справедливо при некоторых условиях. Например, следует из теории многомерной регрессии (приложение 9.1), если вместо действительных наблюдений используются наблюдения типа белого шума (т. е. последовательность получена приведением последовательности к последовательности с некоррелированными членами, что обычно делается путем представления последовательности в виде скалярного AR-процесса). Раз мы построили модель для переменных типа белого шума, то с помощью простых преобразований можно получить модель и для переменных У и

Этот метод можно использовать для определения подходящего порядка AR-моделей. Начиная с увеличивают порядок до тех пор, пока соответствующая модель не перестанет удовлетворять упомянутому выше критерию. Однако следует заметить, что модель, полученная по преобразованным наблюдениям с последующим преобразованием «отбеленных» переменных в исходные переменные может иногда значительно отличаться от AR-модели, построенной непосредственно по наблюдениям Часто модель, полученная по преобразованным наблюдениям, имеет более высокий порядок, чем модель, полученная непосредственно. Причина этого проста. Пусть порядок AR-модели для вектора Обычно невелико, но когда мы переходим от переменных к исходным переменным у, порядок модели становится равным где -максимальный порядок одномерных AR-моделей среди всех одномерных AR-моделей переменных .

9с.3.2. Частная автокорреляция и связанные с ней критерии.

Пусть описывается AR-процессом порядка в (9с.3.1); тогда можно показать (Кенуй, 1957), что описывается и другой AR-моделью -го порядка:

где последовательность с нулевым средним, не зависящая от Процесс называют обычно прямым AR-процессом, чтобы отличать его от обычного, или обратного AR-процесса. По определению не зависит от следовательно, не зависит от для всех так как является линейной функцией наблюдений Таким обрзом, метод проверки правильности, порядка AR-процессов состоит в проверке двух последовательностей на некоррелированность для любых Увеличиваем начиная с до тех пор, пока мы не убедимся, что эти две последовательности — некоррелированные. Вычислительную процедуру можно представить в следующем виде (Кенуй, 1957):

1. Начать

2. Построить для наблюдений модель в форме обратного AR-процесса порядка вида и образовать остатки

3. Построить модель в виде прямого AR-процесса порядка и образовать остатки

4. Нормировать последовательности остатков таким образом, чтобы их эмпирические средние были равны нулю, а матрица эмпирических ковариаций была едипичной матрицей Для этого положим

Представим матрицы в виде произведения двух невырожденных треугольных матриц

Пусть

Тогда представляют собой последовательности с нулевыми средними и единичными ковариационными матрицами.

5. Найти эмпирическую взаимную ковариационную матрицу

Тогда для больших элементы матрицы представляют собой независимые нормально распределенные по закону случайные величины. Пусть

тогда, если порядок AR-процесса не превосходит величина х имеет распределение для любого Начиная с проверим, можно ли считать, что наблюдаемые матрицы были получены выборкой из распределения Для Если да, то порядок правильный. Если нет, увеличиваем до тех пор, пока не получим подходящее значение соответствующей статистики. Можно избежать факторизации матриц работая с канонической формой III. Тогда остатки автоматически будут иметь нулевое среднее и диагопальную ковариационную матрицу, если модель выбрана правильно. Нормализация остатков для получения единичной ковариационной матрицы в этом случае тривиальна.

Случай называется обычно критерием частной автокорреляции, так как матрицу можно рассматривать как частную автоковариационную матрицу между после устранения влияния членов

Иными словами, мы строим регрессию на для получения остатков Тогда матрица ковариаций измеряет только корреляцию между после устранения влияния промежуточных членов

По-видимому, случай дает хорошие результаты. Есть несколько задач с критериями при которые обычно называют критериями Бартлетта — Раджалакшмана (1953). В критерии, приведенном в этом пункте, распределение вероятностей статистики х основывается на какой-либо эвристической аргументации, как в п. 9с.3.1.