6b.2. Байесовы правила оценивания в случае систем с одним выходом.

В дополнение к предположениям, принятым в начале § 6а, здесь потребуются следующие допущения:

Е2. Дисперсия шума известна.

Е3. Априорная плотность вероятности для равна причем известны.

Предположение (Е1) отражает тот факт, что компоненты вектора 0 являются коэффициентами разностного уравнения и, таким образом, никакой информации нельзя извлечь ни из начальных условий ни из входных сигналов самих по себе. Предположение принимается для облегчения анализа, а предположение приводит к тому, что апостериорная плотность также оказывается нормальной и поэтому с ней легче производить различные преобразования.

Теорема 6b.2. Апостериорная плотность для 6 при заданном имеет вид

где

Согласно теоремам есть желаемая оптимальная оценка для 0 при квадратичной функции потерь. Апостериорная ковариационная матрица оценки при наблюдениях, заданных до момента времени равна Теорема доказывается в части В приложения 6.2.

Замечание 1. Важной особенностью оценки является то, что она не зависит от дисперсии Эта оценка зависит от величины а для вычисления последней знание не требуется. Поэтому предположение в определенной степени избыточно.

Замечание 2. Чтобы получить представление о ковариациях оценки 0 при неизвестной можно использовать следующее выражение для

Замечание 3. Оценка может рассматриваться как оценка взвешенных наименьших квадратов, полученная минимизацией критерия

Первый член в описывает рассогласование оцениваемой величины с данными наблюдений, а второй — отклонение от априорной оценки для 0.

Замечание 4. Мы хотим подчеркнуть тот факт, что явное выражение для было получено только благодаря тому, что соответствующее разностное уравнение линейно относительно 0. Функция тем не менее может быть нелинейной, и не требуется, чтобы выходной сигнал у был распределен нормально, однако шум должен быть гауссовым.