5b. Треугольные канонические формы

5b.1. Базисная форма.

Как было показано, отношение эквивалентности разбивает множество четверок на классы эквивалентных элементов таким образом, что все четверки из одного класса эквивалентности имеют одну и ту же спектральную пару Нашей целью является построение

подмножества в так называемого канонического подмножества, содержащего один и только один элемент в каждом из классов эквивалентности, порожденных отношением Для произвольного элемент назовем канонической четверкой или канонической формой, соответствующей элементу (или ассоциированной с ним спектральной плотности), если и Разностное уравнение, получаемое с помощью называется каноническим разностным уравнением. Каноническое подмножество находится во взаимно однозначном соответствии с фактормножеством индуцированным отношением Другими словами, существует взаимно однозначное соответствие между парами спектральных плотностей

Множество не единственно; можно построить различные канонические множества где Действительно, пусть мы нашли каноническое множество 9 и выбрали неособенные матрицы такие, что унимодулярная, произвольная матрица с вещественными элементами. Тогда можно определить полагая

Множество 9 также будет каноническим. С помощью этого приема можно получить другие канонические множества выбирая различные матрицы Все возможные канонические множества можно получить таким способом, используя групповую структуру множества К.

Мы приведем ряд теорем о способах построения различных канонических форм. В связи с этим нам понадобится следующее предположение.

А9. Матричный многочлен А удовлетворяет следующим условиям: А нижнетреугольна; степень не превосходит степени А и для всех

Определим подмножество 9 9 следующим образом:

Теорема (каноническая форма I). (Хеннан, 1971.) (I) Если принадлежит то

(II) Для заданного элемента существует четверка такая, что

Доказательство части (I) теоремы приведено в приложении 5.1. Доказательство части (II) следует из приводимого ниже алгоритма. Четверка называется имеющей каноническую форму, если

Алгоритм построения канонической формы По заданной четверке построим четверку имеющую каноническую форму. Хорошо известно, что любую неособенную матрицу можно привести в классе к нижнетреугольному виду посредством элементарных операций над строками матрицы. Это утверждение эквивалентно существованию унимодулярной матрицы такой, что

Применяя преобразование к получим остальные члены четверки

Замечание 1. Часть (I) теоремы утверждает, что все элементы в имеют различные пары спектральных плотностей. Часть утверждает, что по заданной четверке можно найти единственный элемент такой, что

Требуемый элемент задается соотношениями

где унимодулярная матрица. Для заданной А матрица единственна, поскольку единственна.

Замечание 2. Каноническое разностное уравнение, отвечающее канонической форме 1, имеет вид

где Все матрицы нижнетреугольны. Если для всех для любого к, то в силу все элементы строки матрицы должны быть равны нулю для всех

Замечание 3. Теорема 5b.1 остается справедливой, если нижнетреугольную матрицу заменить соответствующей верхнетреугольной.

Замечание 4. Теорема 5b.1 остается справедливой, если предположение при определении заменить на а соответствующую каноническую форму обозначить через

удовлетворяет следующим условиям:

степень меньше степени т. е. не обязательно диагональна, но нижнетреугольна.

Каноническая форма представляет интерес в связи с вопросом о параметрической сложности. Последняя может быть получена одним из следующих двух способов. Ее можно измерить числом различных коэффициентов в многочленах и в матрице т. е. числом коэффициентов, подлежащих оценке по исходным данным, когда четверка неизвестна. Эту меру сложности обозначим через Альтернативный способ измерения основан на использовании суммы степеней многочленов т. е. суммы Эту меру сложности обозначим через II. В обоих случаях определенные выше меры параметрической сложности лишь косвенно связаны с вычислительной сложностью оценивания коэффициентов системы. Например, много легче оценить параметры системы чем параметры системы ARMA, несмотря на то, что число уравнений в первом случае может оказаться большим, чем в последнем.

Преимущество канонической формы состоит в том, что значение меры сложности I или II для нее обычно меньше значения меры для формы I, удовлетворяющей

Замечание 5. Теорема остается справедливой, если В, а не А, удовлетворяет или Соответствующие канонические формы обозначают и Возможны случаи, когда сложность канонических форм и ниже, чем формы Примером этого является авторегрессионная система с четверкой По определению она имеет каноническую форму Но если мы попытаемся преобразовать систему к канонической форме I, то получим четверку где может иметь большую степень, чем таким образом, сложность формы I выше сложности формы

Замечание 6. Каноническая форма I не всегда будет имехь минимальную сложность среди различных форм, отвечающих одной и той же спектральной паре. Но одна из форм и обычно имеет минимальную сложность. Сложность формы I часто, но не всегда, меньше сложности формы II или III. Пример очень хорошо иллюстрирует эту особенность.

5b.2. Оцениваемость.

Единственность канонической четверки в классе отвечающей заданному процессу у, не гарантирует автоматической оцениваемости всех коэффициентов четверига, хотя естественно было бы думать, что это так. В следующей теореме мы докажем оцениваемость коэффициентов многочленов для канонического разностного уравнения.

Теорема Рассмотрим разностное уравнение

Пусть обозначает вектор коэффициентов многочленов Вектор является оцениваемым.

Доказательство теоремы приведено в приложении 5.1.

Теорема остается, по-видимому, верной при введении в уравнение вектора тренда при условии, что удовлетворяет Но ограничение представляется существенным. Имеются веские причины полагать, что результаты об оцениваемости не требуют для их получения столь сильного предположения, как Однако доказательство теоремы без по-видимому, трудное.