2с. Обратимость

Понятие обратимости является основой методов оценивания параметров и предсказания в системах, описываемых соотношениями со скользящим средним. Процесс удовлетворяющий уравнению называют обратимым, если возмущения могут быть восстановлены с вероятностью 1 или в среднеквадратическом смысле по полубесконечным реализациям . Обозначая через оценку получим с помощью уравнения

(2а. 1.1) следующую схему вычисления последующих оценок:

Чтобы определить, как сходится вычтем из

Легко видеть, что необходимым и достаточным условием асимптотического стремления к нулю разности является асимптотическая устойчивость системы, описываемой уравнением которая в свою очередь обеспечивается условием Обратимость автоматически обеспечивается в системах, не содержащих членов типа скользящего среднего. Обратимость полностью характеризуется матрицами коэффициентов скользящего среднего и ковариационной матрицей шума.

Если система необратима, можно заменить в ней компоненты скользящего среднего другим представлением скользящего среднего так, чтобы новое представление было обратимым. Проиллюстрируем это на примере. Пусть обозначает скользящее среднее. Положим

Если полином не удовлетворяет можно воспользоваться следующим представлением скользящего среднего

Пусть

Следовательно, обе пары должны удовлетворять уравнениям

которые получены приравниванием первых двух ковариационных матриц вычисляемых с помощью

С другой стороны, можно показать, что существует пара как решение уравнения такая, что матрица нолученная из подчиняется условию

Когда скаляр, можно найти явное выражение для В через

Можно легко проверить, что как только Далее следует отметить, что т. е. ковариация шума в

обратимой системе больше, чем в необратимой. Другими словамиг для необратимой системы можно построить такую обратимую, у которой дисперсия входного шума больше, чем у необратимой.