7а. Оценки максимального правдоподобия

7а.1. Постановка задачи.

7а.1.1. Одномерный процесс.

Рассмотрим следующее разностное уравнение относительно скалярной переменной у:

где известные функции, а остальные величины были определены раньше. Обозначим

размерность вектора равна Обозначим через 36 множество всех значений, которые может принимать

параметр . Нашей первой целью является принятие ряда допущений относительно множества и уравнения (7а. 1.1) таких, чтобы при заданном процессе у в множестве существовал не более чем один вектор, который совместно с уравнением описывал бы процесс.

Пусть случайный входной сигнал имеет нормальное распределение и удовлетворяет предположению наблюдаемый входной сигнал удовлетворяет а вектор тренда удовлетворяет Потребуется ряд предположений относительно вектора параметров , т. е. ограничения на множество . Во-первых, для принимается предположение чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость системы. Если функции одинаковы, то из следует Далее, чтобы обеспечить обратимость системы, потребуется предположение Наконец, мы должны предположить, что уравнение нельзя упростить, т. е. что его порядок нельзя понизить. Если все одинаковы, то это условие эквивалентно

Совокупность всех наблюдений, имеющихся к моменту времени обозначим через

Требуется, основываясь на совокупности наблюдений найти оценки максимального правдоподобия для неизвестных параметров и характеризующих модель, описывающую данный эмпирический процесс у. Процедура вычисления оценок условного максимального правдоподобия для коэффициентов одномерной системы исчерпывающим образом была описана Острёмом и др. (1965).

7a.1.2. Векторный процесс.

Пусть, как и прежде, векторный процесс описывается уравнением

где

функции известны. Входной сигнал и тренд те же, что и в гл. IV. Векторный параметр составляется из всех элементов матриц и

Размерность вектора равна

Пусть множество значений, которые может принимать параметр Как и выше, необходимо принять предположения такие, чтобы значение вектора однозначно характеризовало данный эмпирический процесс у. Входные сигналы удовлетворяют предположениям кроме того, шум гауссов. Нам потребуется также многомерный вариант предположения для того, чтобы обеспечить асимптотическую устойчивость. Если то вытекает из Подобным же образом предположение обеспечивает обратимость. Далее мы вынуждены ограничиться разностными уравнениями, характеризуемыми четверкой и записываемыми либо в одной из канонических форм (I, II или III), либо в псевдоканонической форме II, и принять соответствующие дополнительные предположения, рассмотренные в гл. V. Например, если мы употребляем каноническую форму I, то в дополнение к предположениям нам нужны предположения чтобы обеспечить единственность вектора характеризующего параметры системы. Аналогично, если мы употребляем каноническую форму II или III, либо псевдоканоническую форму II, то нам требуются дополнительные предположения При рассмотрении векторных разностных уравнений с четверкой в канонической форме II или III вопросы оцениваемости можно разрешать, привлекая только теорию скалярного уравнения из гл. IV.

Мы памереваемся оценивать неизвестный вектор коэффициентов и ковариационную матрицу по вышеопределенной совокупности наблюдений Вопросы оценивания параметров в таких системах обсуждали Кашьяп (1970b) и Мера (1971).