2е. Спектральный анализ

2е.1. Определение и примеры.

Обычно спектральный анализ используется для предварительного исследования эмпирических данных. Однако он также используется и для получения характеристик процесса, особенно при сравнении различных моделей для одних и тех же данных. В частности, одну модель можно считать лучше другой, если спектральная плотность определяемого ею процесса согласуется с имеющимися данными лучше, чем спектральная плотность процесса, определяемого другой моделью. Однако получить точную оценку спектральной плотности трудно, особенно когда размеры выборки малы. Поэтому с особой осторожностью нужно относиться к статистическим выводам, основанным только на спектре. Неточность оценок спектральных плотностей не является неожиданной, учитывая возможную ошибку, которая может иметь место даже при оценивании ковариаций скалярного процесса.

Если два процесса, связанные передаточной матрицей то спектральная плотность и взаимная спектральная плотность могут быть записаны в виде

Другим представлением для будет

Если входной сигнал представляет собой последовательность независимых -мерных векторов с ковариационной матрицей то Некоторые примеры, иллюстрирующие эти выражения, даны ниже.

Пример Рассмотрим процесс из примера случай (I). Здесь

Интересной особенностью этого примера является острый пик спектра на частоте которая отличается от частоты колебаний, отвечающих ковариациям

Уместно заметить, что часто встречаются задачи различения моделей, таких как, например, в примере с острым

максимумом в спектральной плотности и моделей, имеющих детерминированные синусоидальные компоненты соответствующей частоты.

2е.2. Оценивание спектральной плотности слабостационарных процессов.

В этом параграфе рассматриваются оценки спектральной плотности скалярного слабостационарного процесса. Пусть даны наблюдений процесса, нормированных таким образом, чтобы их выборочное среднее было равно 0. Оценка ковариационных функций процесса имеет вид

Обычная оценка есть

Другой обычно применяемой оценкой является оценка по периодограмме, которая получается прямым преобразованием Фурье исходных данных. Пусть

Тогда оценка по периодограмме, обозначаемая определяется формулой

Чтобы установить связь между оценками упростим выражение

Таким образом, различие между двумя оценками и состоит в различных способах взвешивания эмпирических ковариаций

Фурье-преобразование не сходится ни в каком смысле при Далее, оценка обладает следующими

асимптотическими свойствами:

Таким образом, периодограмма не является хорошей оценкой так как ее стандартное отклонение является величиной того же порядка, что и величина, подлежащая оценке. Аналогично можно показать, что оценка также несостоятельна.

Для получения более хороших оценок рассмотрим две альтернативы. Исходные данные можно разделить на несколько групп. Спектральную плотность для каждой такой группы данных можно оценить отдельно, а различные оценки усреднить. Эта процедура значительно улучшает качество оценки, так как усреднение устраняет смещение. Второй метод заключается в сглаживании исходных оценок (необработанных оценок) с помощью подходящих весовых функций. Чтобы проиллюстрировать использование одной из таких весовых функций, рассмотрим так называемую функцию окна Бартлетта. Пусть (возначает оцениваемую спектральную плотность, полученную с помощью описанного выше процесса усреднения, причем каждая группа содержит наблюдений. Тогда сглажеиная оценка имеет вид

где

Сглаживание оценки проведено с помощью функции окна Бартлетта Функция симметрична относительно начала координат и имеет нули в точках Известен ряд других весовых функций, введенных Хемингом, Тьюкй, Парзеном и др. (Дженкинс, Уотте, 1968).

Совершенно другой подход был предложен Парзеном (1969), который не пользовался методом «спектральных окон». Одним из главных недостатков этого метода является его частный характер. Несмотря на то, что рассматривается задача оценивания, отсутствует хорошо определенный критерий. Парзен использует критерий наименьших квадратов, приближает наблюденные данные авторегрессионным процессом и рассматривает спектральную плотность полученного AR-процесса как оценку неизвестной спектральной плотности исходного процесса. Численные результаты, полученные этим методом, оказались достаточно хорошими.

2е.3. Оценка спектральной плотности ковариационно-стационарных процессов.

Проиллюстрируем рассмотренные задачи на примере следующего скалярного процесса являющегося суммой слабостационарной части и синусоидального тренда частоты Если структура процесса заранее неизвестна, то можно лишь оценить усредненные по времени ковариации используя наблюдения за и получить оценку спектральной плотности обычным способом: Даже если не учитывать неточности оценок из-за конечности выборки, полученная оценка не будет состоятельной, так как она стремится к сумме истинной спектральной плотности где дельта-функция. Спектральная функция процесса будет иметь скачок в точке

Следовательно, состоятельное оценивание возможно, если устранить тренд и повторить операцию. Эта процедура предполагает, что вначале мы должны были проверить имеющиеся наблюдения на присутствие в них тренда. Хотя это и нелегкая задача, в гл. VIII есть несколько тестов для определения наличия синусоидального тренда в данной совокупности наблюдений.