7с. Оценки на основе ограниченной информации

Одной из основных причин большой вычислительной сложности правил оценивания методами максимального правдоподобия на основе полной информации и условного максимального правдоподобия в многомерных системах, содержащих члены скользящего среднего, является то, что все неизвестные в системе должны оцениваться одновременно. Один из методов уменьшения вычислительной сложности заключается в исследовании возможности раздельного оценивания неизвестных в каждом из отдельных разностных уравнений, т. е. мы рассматриваем возможность

замены большой сложной задачи оценивания относительно простыми задачами оценивания.

Такая декомпозиция может быть осуществлена при условии, что мы имеем дело с разностными уравнениями в канонической форме II или III. Эти оценки на основе ограниченной информации имеют некоторое сходство с оценками методом ограниченной информации, описанном в экономической литературе. Мы обсудим оценки на основе ограниченной информации для канонических форм II и III раздельно.

7с. 1. Оценивание параметров в случае канонической формы II.

Вновь запишем уравнение имеющее каноническую форму II:

где Так как матрицы но определению диагональны, векторное уравнение можно свести к раздельным скалярным уравнениям таким, что уравнение, т. е. уравнение относительно содержит лишь шумовую последовательность ( пробегает различные значения), но не содержит шумовые последовательности Отвечающее уравнение записывается в виде

где

В уравнение входит вектор размерности и не входят шумовые переменные Вектор 8° в соответствует вектору неизвестных коэффициентов отдельного уравнения и также имеет размерность Вектор всех неизвестных величин можно представить в виде где размерность равна Можно рассматривать (7с.1.2) как уравнение одномерной обобщенной ARMA-модели с выходным сигналом Члены можно трактовать как экзогенные переменные. Используя фиктивный параметр и уравнение оценки для можно

получить в следующем виде:

где

Параметр можно оценивать отдельно от остальных, минимизируя функцию потерь относительно В случае численной минимизации функции требуются только оценки вычисляемые из уравнения которое получается из уравнения в При этом не требуется ни информация, содержащаяся в каком-либо другом уравнении, ни знание неизвестных

Нетрудно показать, что оценка получаемая минимизацией относительно состоятельна.

При вычислении оценки 0 мы полностью пренебрегаем корреляциями между входными шумами это может приводить к тому, что оценка будет неэффективной. Название «ограниченная информация» происходит из того факта, что мы пренебрегаем знанием корреляций между входными шумами. Но существуют еще и другие причины того, что оценка 0» не является эффективной. При обсуждении канонической формы II в гл. V мы упомянули, что иногда компоненты неизвестного вектора не являются независимыми; т. е. если привести ту же самую систему к канонической форме I вместо II, то соответствующий вектор неизвестных величин в случае канонической формы I обычно будет иметь меньшую размерность, чем в случае канонической формы II. Зависимость между компонентами вектора можно выразить следующим образом:

Ясно, что информация, содержащаяся в соотношениях (7с.1.5), игнорируется, когда оценки вычисляются порознь, что делает эти оценки неэффективными. Подчеркнем, что зависимость вида возникает не в каждой задаче.

Мы не в состоянии получить явные аналитические выражения для потери эффективности в случае оценок на основе ограниченной информации и поэтому вынуждены обратиться к численным экспериментам. Наши численные эксперименты показывают, что потеря точности в случае оценок на основе

ограниченной информации, вызванная первой причиной, несущественна. Эта особенность демонстрируется в примере, обсуждаемом в Потерю точности, вызванную вышеупомянутой второй причиной, оценить трудно. Предварительные численные результаты, представленные в п. 7d.l, показывают, что потеря точности из-за второй причины также несущественна.

7с.2. Оценивание параметров в случае канонической формы III.

Напомним, что в случае канонической формы III матрица нижнетреугольная с единичными диагональными элементами, матрицы диагональные. Для упрощения обозначений ограничимся функциями в (7а.1.2), имеющими вид

Как и в уравнение для можно записать в следующей форме, содержащей только шумовую переменную

где имеет размерность и

Отметим, что в члене нет составляющей Как и выше, можно генерировать оценки для используя фиктивный параметр и уравнение (7с.2.1). Для генерирования последовательности не требуется никакой информации о Как и выше, оценка на основе ограниченной информации для 0? получается минимизацией функции Оценки можно вычислять независимо одна от другой.

Для того чтобы дать другую интерпретацию этим оценкам на основе ограниченной информации, ту часть условной логарифмической функции правдоподобия, которая зависит явно от 0, перепишем в виде

Упрощение, достигаемое в возможно благодаря тому, что матрица диагональна по определению канонической формы III. Пусть Из видно, что оценка на основе ограниченной информации 0 составляется из вычисляемых порознь подвекторов минимизирующих функцию относительно соответственно, где

часть логарифмической функции правдоподобия, зависящая от возмущений Следовательно, оценки на основе ограниченной информации, рассматриваемые в этом пункте, могут быть названы оценками максимального правдоподобия на основе ограниченной информации.

Но оценки максимального правдоподобия на основе ограниченной информации, вообще говоря, не равны соответствующим оценкам условного максимального правдоподобия даже асимптотически из-за возможной избыточности канонической формы III, на которую указывалось в гл. V.

В отличие от оценок в случае канонической формы II, здесь отсутствуют потери эффективности из-за корреляции между компонентами вектора поскольку матрица диагональная. Этот метод иллюстрируется на численном примере в § 7d.