9b.2. Тесты на причинность.

9b.2.1. Случай двух переменных.

Нас интересует прогноз следовательно, желательно проверить, имеет ли место соотношение Один из возможных методов заключается в построении двух AR-моделей для причем одна из моделей содержит прошлые значения только а другая — прошлые значения и Остаточные дисперсии двух моделей можно сравнить, используя теорию регрессии, а затем применить тесты для проверки того, существенно ли уменьшает добавление во вторую модель остаточную дисперсию. Этот метод не является достаточно общим по двум причинам. Во-первых авторегрессионная модель не всегда является наиболее подходящей моделью. Могут потребоваться логарифмически преобразованные модели или IAR-модели и т. д. Добавляя мы не знаем, появятся ли члены вида или Выводы, сделанные

на базе модели с неправильной структурой, будут иметь сомнительную ценность. Во-вторых, теория регрессии и соответствующие статистики применимы только в случае, когда как для зависимых, так и для независимых переменных используются независимые и одинаково распределенные наблюдения. Следовательно, удобнее работать с процессами типа белого шума, полученными из процессов чем непосредственно с процессами

Рассмотрим обоснованные одномерные модели для

где используются прошлые наблюдения только соответствующей переменной. Вектор получен из для различных 7 и трендов, если они есть. Процессы являются процессами типа белого шума. Если то должны существовать такие, что имеет место

где последовательность независимых одинаково распределенных величин с нулевым средним. Чтобы доказать, что нужно показать, что для любого достаточно близки к нулю. Это можно сделать, пользуясь любым из критериев § 8b. Чтобы избежать ненужного повторения, дадим только два критерия, основанные на проверке гипотез и методе правдоподобия.

Критерий 1, основанный на проверке гипотез (теория регрессии). Предположим, что имеется пар наблюдений и пусть

Если то имеет место

Если зафиксировать приемлемую вероятность ошибки I рода где или 0,01, то по таблице -распределения получим соответствующее пороговое значение Решающее правило можно переписать в терминах величины

Критерий 2, основанный на методе правдоподобия. Вычислим видоизмененное значение функции правдоподобия для класса и класса

Выбираем класс с большим значением .

9b.2.2. Случай более чем двух переменных.

Пусть имеются другие переменные, например для возможного использования при предрказании Естественно было бы рассмотреть каждую переменную в отдельности для проверки причинности с помощью описанных выше критериев. Но здесь можно столкнуться с любопытным явлением, называемым мультиколлинеарностью (Джонстон, 1963; Голдбергер, 1968). Рассмотрим три остаточные переменные полученные из Предположим, с помощью критерия найдено, что величина каждая в отдельности, значимы при моделировании Но если применить для множественную регрессию, используя значения с запаздыванием, то только одно из них может быть значимым. Аналогично может случиться, что не будет значимой сама по себе, но становится значимой в совокупности с другой значимой переменной Следовательно, нужно проверить все возможные комбинации вспомогательных переменных для нахождения эффективных комбинаций, определяющих, значима ли группа этих переменных. Будем действовать следующим образом (заметим, что раньше мы проверяли на значимость только один член). Пусть дана модель вида

Нулевая гипотеза:

Требуется проверить справедливость нулевой гипотезы. Для этого можно использовать любой из критериев раздела 8b. Дадим только два критерия, а именно критерии метода правдоподобия и проверки гипотез.

Критерий 3, основанный на проверке гипотез. Пусть оценка среднего квадрата оценка среднего квадрата остатка в случае, когда нулевая гипотеза

неверна:

где оценки параметров из полученные по наблюдениям Если принимается нулевая гипотеза, то статистика имеет следующее F-pacnpeделение:

Выбирая уровень значимости, можно, как и прежде, построить подходящее решающее правило.

Критерий 4. Модифицированный метод правдоподобия. Вычисляем индексы правдоподобия и когда нулевая гипотеза соответственно принимается и отвергается:

Выбирается тот класс, который дает большее значение .