5а. Характеризация

Рассмотрим основное уравнение

опуская для простоты функцию тренда Это разностное уравнение характеризуется четверкой где

положительно определенная ковариационная матрица возмущения многочленные матрицы соответствующих порядков. Символ будем опускать, если это не приведет к недоразумению. Считаем, что удовлетворяют предположениям (А1)-(A3), а тройка предположениям (А5), (А6).

Несколько слов о необходимости довольно ограничительного предположения Поскольку нас интересует отыскание всех разностных уравнений, описывающих процесс с заданными характеристиками второго порядка, то необходимо получить точное выражение для спектральной плотности процесса, описываемого разностным уравнением. Для этого необходимо знать точную взаимосвязь между Одна из форм такой взаимосвязи дается предположением Однако для выяснения вопроса об оцениваемости коэффициентов разностного уравнения не является необходимым. Это обстоятельство обсуждается в § 5с.

Предположение означает, что если неособенная матрица является общим левым делителем,

то должна быть унимодулярной, т. е. определитель матрицы равен отличной от нуля постоянной, не зависящей от Чтобы проверить, что тройка удовлетворяет надо найти ее форму Смита и определить, имеет ли она вид где I — единичная -матрица. Для нахождения формы Смита существуют стандартные алгоритмы.

Если тройка не удовлетворяет можно попытаться исключить общие неунимодулярные левые делители, чтобы получить множество удовлетворяющее Исключение таких общих делителей в многомерном случае аналогично исключению общих полюсов и нулей в одномерной задаче. Это есть первый шаг в устранении избыточности системы уравнений.

Если, с другой стороны, удовлетворяет то каждое из скалярных разностных уравнений системы (5а. 1.1), рассматриваемых по отдельности, не допускает дальнейшего упрощения. Легко показать, что влечет но не наоборот. В качестве примера можно рассмотреть задачу 5 в конце главы.

На протяжении всей этой главы будем предполагать, что слабостационарный процесс и имеет спектральную плотность Поскольку у тояе слабостационарен, то вся информация о свойствах второго порядка процесса у содержится в спектральной паре Связь между спектральной парой и четверкой задается соотношениями

получаемыми с помощью предположения звездочка обозначает комплексное сопряжение и транспонирование. Передаточные матрицы приведенные выше, имеют вид

Обратные матрицы в существуют всюду, кроме конечного числа точек, в силу предположения

Если — гауссовы процессы с нулевым средним, то вся информация об у содержится в паре . В этом случае уравнения содержат всю имеющуюся информацию для характеризации четверки по свойствам процессов . Однако, если негауссовы, из можно получить дополнительные, помимо соотношения, связывающие характеристики процесса у более высокого порядка с матрицами Тем не менее мы ограничимся лишь свойствами второго порядка процессов у и и соответственно этому будем характеризовать и

Наша задача — охарактеризовать класс процессов у, задаваемых четверками и имеющих одну и ту же спектральную пару Введем обозначение

Определение. Элементы множества 3 назовем находящимися в отношении (обозначение: если четверки приводят к одной и той же спектральной паре

Можно проверить, что отношение является отношением эквивалентности, поскольку оно обладает следующими свойствами:

Отношение эквивалентности <§ разбивает множество 3 на классы эквивалентности которые взаимно не пересекаются и объединение которых совпадает с 9. Любые два элемента из одного и того же класса эквивалентности удовлетворяют отношению т. е. все четверки в одном классе эквивалентности приводят к одной и той же спектральной паре и наоборот. Теорема 5а. 1 дает метод порождения всех возможных четверок, содержащихся в одном классе, если известен хотя бы один элемент этого класса. Таким образом, теорема определяет структуру этих классов эквивалентности.

Теорема 5а.1. Рассмотрим две четверки из и пусть

(I) Если то существуют унимодулярная матрица и неособенная матрица такие, что

(II) Справедливо обратное к (I) утверждение: если существует пара четверок из подчиняющихся то

Доказательство теоремы содержится в приложении 5.1.

Замечание 1. Важность теоремы 5а.1 состоит в том, что она доставляет конструктивный метод получения всех элементов класса эквивалентности по одному его элементу. Различные пары определенные в теореме, приводят к различным элементам. Вопрос заключается в том, чтобы получить все возможные пары Следующее замечание проясняет этот вопрос.

Обозначим символом операцию над и определенную соотношениями Мы можем переписать в виде

Рассмотрим множество К:

Теорема 5а. 1 показывает, что К — группа. Поэтому последовательное применение всех элементов группы К к какому-либо одному элементу из класса эквивалентности позволяет, согласно получить все элементы этого класса.

Замечание 2. Даже если все четверки в классе эквивалентности удовлетворяют предположению степени соответствующих многочленов не обязательно будут одинаковы для всех элементов класса. Это показывает следующий пример.

Пример Рассмотрим четверку

С помощью пары получим пару используя унимодулярную матрицу

где

Пусть По определению,

Поскольку максимальная степень многочлена в больше степени многочлена в то порядок разностного уравнения, получаемого с помощью больше порядка уравнения, получаемого с помощью несмотря на то, что оба разностных уравнения описывают один и тот же процесс у и к тому же удовлетворяют Такое явление невозможно в случае скалярного разностного уравнения.

Наш следующий шаг должен состоять в выборе в каждом классе эквивалентности элемента с некоторыми специальными свойствами. Желательно, например, выбрать элемент, приводящий к разностному уравнению, степень которого минимальна среди всех разностных уравнений, отвечающих тому же классу эквивалентности. Этот элемент можно назвать элементом каноннческой формы, поскольку он обладает некоторым специальным свойством, и все другие элементы класса эквивалентности можно получить из него. Можно также определить подмножество в такое, что содержит один и только один элемент из каждого класса эквивалентности, а именно элемент канонической формы. Это подмножество естественно назвать каноническим.

Понятие канонического подмножества очень важно в задаче оценивания параметров разностных уравнений. Если в классе попытаться найти четверку, наилучшим образом согласованную с заданным множеством наблюдений, используя при этом какой-либо стандартный алгоритм оценивания, то этот алгоритм редко будет сходиться (а может даже и расходиться), поскольку в множестве 9 имеется много элементов, одинаково хорошо согласованных с заданным процессом, и алгоритм будет осциллировать между такими элементами. С другой стороны, если наиболее согласованный элемент искать в каноническом подмножестве, то никаких проблем со сходимостью не возникает, поскольку в этом подмножестве имеется лишь один элемент из каждого класса эквивалентности.

Следует также подумать о таких определениях канонических форм и канонического подмножества, которые существенно упрощают задачу оценки параметров. Эти вопросы рассматриваются в следующих двух параграфах.