3а.2. Слабостационарные модели, описываемые разностными уравнениями.

3а.2.1. Модели авторегрессии Это важный класс стохастических динамических моделей, а в вычислительном отношении это еще и простейший класс. Процесс у представляется в виде

Все нули полинома должны лежать вне единичного круга. Постоянная вводится для того, чтобы получить ненулевое среднее значение процесса. Иногда процесс у может не описываться моделью но некоторые его функции, скажем могут описываться этой моделью. Далее, процесс AR можно обобщить так, чтобы он включал уравнения типа

при условии, что уравнения асимптотически устойчивы и

различные члены входят в уравнения линейно. Будем называть процессы, описываемые уравнениями типа обобщенными AR-процессами.

Как указано в гл. II, AR-процесс второго порядка с соответствующими коэффициентами должен иметь коррелограмму типа затухающей синусоиды. Таким образом, AR-процесс второго порядка (или любой AR-процесс с в виде полинома, имеющего пару комплексных нулей) может представлять эмпирические временные ряды с приблизительно циклическим поведением.

Другой подкласс AR-моделей, используемых в моделировании «циклических» временных рядов, содержит члены вида где приблизительно равно периоду временного ряда или представляет собой целое число, близкое к периоду. Например, рассмотрим

В (3а.2.3) нет AR-члепов, соответствующих и поэтому говорят, что это уравнение имеет несплошные AR-члеиы. Некоторые временные ряды, как, например, хорошо известные годовые числа солнечных пятен, наилучшим образом моделируются элементом семейства Дальнейшие подробности даны в гл. XI.

3а.2.2. Мо дели авторегрессии и скользящего среднего (ARMA). Класс ARMA-моделей представляет собой естественное обобщение AR-моделей. Обозначение используется для ARMA-модели с последовательными членами последовательными членами Части уравнения AR и должны удовлетворять допущениям чтобы процесс, описываемый ARMA-моделью, был слабостационарным и обратимым.

Точное оценивание параметров в системе, содержащей члены скользящего среднего, значительно труднее, чем задача оценки в системе без скользящего среднего. Эта трудность усугубляется, если параметры надо оценивать в реальном масштабе времени. Следовательно, при моделировании эмпирических временных рядов должна исследоваться возможность создания модели без скользящего среднего, но удовлетворительно представляющей данные. Обычно, если процесс описывается ARMA-моделью, такой как

его можно представить также в виде AR-процесса бесконечного порядка

Можно рассматривать конечные отрезки временного ряда в В этом случае необходимо исследовать адекватность представления данного ARMA-процесса таким «усеченным» процессом.

Когда какой-нибудь корень полинома близок к 1, то соответствующая усеченная модель авторегрессии может потребовать большого числа членов для получения хорошего соответствия исходной ARMА-модели. Эти коэффициенты должны быть оценены по имеющимся данным, и точность оценки не может быть высокой, так как точность оценки обратно пропорциональна числу одновременно оцениваемых параметров. Это свойство может значительно ухудшить характеристики AR-модели. В таких случаях может быть лучше использовать модель со скользящим средним.

Даже в противном случае, когда ни один корень не лежит вблизи единичного круга, трудно сказать что-нибудь определенное о влиянии усечения на качество модели при синтезе оптимального управления процессом. Однако, что касается использования усеченных моделей авторегрессии для предсказания, то по этому вопросу имеются две противоположные точки зрения. Одна состоит в том, что способность предсказания усеченной модели может быть сделана приблизительно такой же, как у исходного ARMA-процесса, выбором достаточно большого числа членов в усеченной AR-модели. Согласно второй точке зрения ни в одной задаче невозможно достичь такой же способности предсказания для усеченной AR-модели, как и для исходной ARMA-моделм, поскольку увеличение длины усеченных рядов не обязательно приводит к увеличению способности предсказания.

Чтобы проиллюстрировать вторую точку зрения, рассмотрим ряд наблюдаемых ежеквартально данных о расходах на товары длительного пользования (РТДП), приведенный на рис. 3а.2.1, и ряд одношаговых разностей ежеквартальных РТДП в миллиардах долларов по текущему курсу (Нельсон, 1973) (рис. 3а.2.2). Ряды содержат 80 членов. Мы используем первые 56 точек для оценивания коэффициентов соответствующей модели. Способность предсказания этой модели будет оцениваться вычислением предсказаний на один шаг вперед для оставшихся 24 точек (которые не были использованы для оценки коэффициентов модели) и среднеквадратической ошибки (СКО) этих предсказаний. Наилучшей моделью в классе моделей со скользящим средним была модель равной 1,05. Лучшей моделью в классе AR-моделей была равной 1,36. Дальнейшее увеличение порядка AR-модели приводит лишь к увелкчению СКО. Этот пример наглядно показывает ограниченные возможности AR-моделей в адекватном представлении временных рядов, которые в действительности представляют собой ARMA-процессы. Более подробное обсуждение этого вопроса

можно найти в Аналогично можно привести примеры, подтверждающие первую точку зрения.