Глава IV. ОЦЕНИВАЕМОСТЬ В СИСТЕМАХ С ОДНИМ ВЫХОДОМ

Введение

В гл. III были рассмотрены различные виды стохастических разностных уравнений с одной выходной переменной, полезных при моделировании разнообразных типов временных рядов. В этой главе мы исследуем условия, при которых неизвестные коэффициенты разностного уравнения могут быть восстановлены по наблюдениям процессов у и и, т. е. условия, при которых свойства второго порядка процесса у однозначно определяются коэффициентами разностного уравнения, вектором тренда и свойствами входного сигнала и. Это будет первым шагом на пути оценивания неизвестных коэффициентов по конечному множеству наблюдений. Отметим, что по причине возможной сложности процесса не все неизвестные коэффициенты уравнения можно восстановить даже по полубесконечному интервалу наблюдений; другими словами, существует возможность, что одной и той же реализации процесса отвечает множество различных разностных уравнений. Условия оцениваемости гарантируют, что для данного эмпирического временного ряда в заданном классе имеется не более одного отвечающего ему разностного уравнения. В этой главе ограничимся скалярными процессами в формуле

Сначала получим необходимое и достаточное условие того, что разностное уравнение т. е. скалярное уравнение, однозначно характеризует процесс заданием входного сигнала и, тренда и множества коэффициентов 0. Поскольку проверка справедливости необходимых и достаточных условий — не простая задача, выведен ряд достаточных, легко проверяемых условий однозначности характеризации процесса. Рассмотрены также характеризационные задачи для двух родственных классов систем, а именно систем с шумом типа авторегрессионного процесса и систем, выходной сигнал которых наблюдается в условиях добавления к нему аддитивного шума. Наконец, обсуждаются точность оценки параметров и пределы достижимой точности оценивания при заданном множестве наблюдений.

Острём и др. (1965), Кейнс, Риссанен (1974), Волин (1971) и другие авторы рассматривали оцениваемость для скалярного разностного уравнения с наблюдаемым случайным входным

сигналом, удовлетворяющим условию независимости Важнейшей особенностью развитой в этой главе теории является возможность ослабления условия независимости Предположения совпадают для случая скалярного у и означают, что (4а. 1.1) не допускает дальнейшего упрощения.

4а. Оцениваемость систем в стандартной форме

4а. 1. Необходимые и достаточные условия.

Рассмотрим разностное уравнение

где векторы-строки. Обозначим через множество всех коэффициентов при членах есть вектор с числом измерений Если неизвестен, ставится задача его оценки по наблюдениям процессов . Говорят, что вектор коэффициентов является оцениваемым, если его истинное значение можно восстановить по полубесконечной последовательности наблюдений

Поскольку речь идет о коэффициентах линейной системы, знание свойств второго порядка процессов , т. е. их средних и ковариаций при всех возможных сдвигах, достаточно для оценивания коэффициентов.

Поэтому можно дать следующее эквивалентное определение оцениваемости. Вектор называется оцениваемым (или, более точно, оцениваемым по свойствам второго порядка), если значение вектора и свойства второго порядка процесса и однозначно определяют свойства второго порядка процесса у.

Найдем некоторые необходимые и достаточные условия оцениваемости составляющих вектора и исследуем, при каких из предположений эти условия удовлетворяются.

Перепишем в виде

Очевидное достаточное условие оцениваемости состоит в линейной независимости составляющих вектора как функций Однако оно не является необходимым. Нам следует исключить возможность лишь асимптотической линейной зависимости, т. е. стремления к нулю, с достаточно большой скоростью, какой-либо линейной комбинации составляющих вектора Сформулируем соответствующее условие.

Условие Не существует постоянного ненулевого -вектора такого, что

где

Теорема 4а. 1. Условие необходимо и достаточно для оцениваемости вектора коэффициентов 0 уравнения (4а. 1.1), если выполнены предположения

Доказательство. Достаточность доказывается в приложении 4.1. Здесь докажем необходимость. Предположим, что условие не выполнено, т. е. что существует ненулевой вектор удовлетворяющий Рассмотрим скалярный процесс определенный уравнением

где

Докажем, что процессы ужу имеют асимптотически одни и те же свойства второго порядка, что делает невозможным установление различий между для характеризации процесса у:

При второй член в правой части стремится к нулю в силу Согласно неравенству Шварца абсолютное значение третьего члена в (4а. 1.6) не превосходит величины

асимптотически стремящейся, в силу к нулю. Следовательно, среднеквадратические значения процессов ужу асимптотически совпадают. Аналогично устанавливается асимптотическое совпадение ковариационных функций процессов

Замечание 1. Ниже приводятся примеры систем, для которых не выполняется. Поскольку примеры, в которых функция (определенная в равна нулю, строятся легко, ниже приводятся лишь такие примеры, в которых не равна нулю тождественно. Следует заметить, что может быть отлична от нуля, даже если в присутствуют функции тренда.

Пример 4а.1. Рассмотрим систему Можно найти ненулевой вектор такой, что

По определению имеем 2 Следовательно, соответствующий вектор коэффициентов в не является оцениваемым.

Пример (Маленву, 1970.) Рассмотрим систему с

Снова можно найти ненулевой вектор такой, что

По определению и имеем Как и в предыдущем примере, не все коэффициенты системы при наличии вектора тренда являются оцениваемыми.

Замечание 2. Отметим теперь несколько интересных следствий теоремы 4а. 1. В теореме 4а. 1 не предполагается полное знание вероятностного распределения возмущений, достаточно лишь считать возмущения последовательностью независимых случайных величин с одинаковой конечной дисперсией (предположение Далее, помехи могут не быть последовательностью одинаково распределенных случайных величин. Если, однако, распределение вероятностей возмущений известно, можно определить точность оценок и оценки наибольшей возможной точности. Если требуется получение состоятельных оценок неизвестных параметров, то достаточна уже частичная информация о характеристиках вероятностного распределения, в частности равенство нулю среднего значения, симметрия, конечность дисперсии и т. д.

Для оцениваемости параметров наблюдаемый входной сигнал и не обязательно должен быть независимым от возмущения Все, что нам нужно, — это предположение о независимости от Это замечание обсуждается далее в

Более того, в стохастическом разностном уравнении может присутствовать полиномиальный или экспоненциально возрастающий тренд и тем не менее соответствующие коэффициенты будут состоятельно оцениваемы. Процесс у должен быть лишь ковариационно-стационарным, а не обязательно слабостационарным или асимптотически слабостационарным.

В следующем примере рассматривается система, не удовлетворяющая условию а также предположению

Пример 4а.3. Рассмотрим систему

Соответствующий вектор равен

Покажем, что составляющие вектора линейно зависимы. Для этого заметим, что во всех членах уравнения присутствует общий множитель сокращая на который, получим разностное уравнение

или

Ясно, что уравнение описывает тот же процесс, что и уравнение поскольку оба эти уравнения приводят к одной и той же передаточной функции.

Уравнение представляет собой линейную комбинацию составляющих вектора тождественно равную нулю при всех

Как отмечено выше, условие проверить нелегко. Целесообразно преобразовать условие в явные условия, которым должны удовлетворять многочлены 4, 5, С и входные сигналы Эти новые условия допускают относительно легкую проверку.

Теорема 4а.2. Рассмотрим процесс у, удовлетворяющий уравнению без вектора тренда Пусть коэффициенты и входные сигналы удовлетворяют предположениям Тогда предположение необходимо и достаточно для оцениваемости всех коэффициентов уравнения

Доказательство. Необходимость очевидна из примера Для доказательства достаточности нужно показать, что предположение влечет условие Если условие не выполнено, то линейная комбинация составляющих вектора равна или нулю, или функции удовлетворяющей Последний случай можно исключить по причине отсутствия вектора тренда

Линейная комбинация составляющих вектора обращается в нуль только в одном из следующих двух взаимоисключающих случаев: (I) некоторая линейная комбинация

равна нулю для всех равна линейной комбинации

и

Случай (I) невозможен в силу предположений Возможность появления случая (II) возникает, только если соответствующие многочлены имеют общий множитель. Сокращая (4а. 1.1) на этот множитель, получим равную нулю линейную комбинацию составляющих вектора случай (II). Но эта возможность исключается предположением

Замечание 1. Чтобы подчеркнуть, что теорема неверна при наличии вектора тренда, т. е. что не необходимо для оцениваемости, когда тренд присутствует, рассмотрим следующий пример.

Пример 4а.4. Пусть система задана уравнением

где Ясно, что не удовлетворяет предположению по причине наличия общего множителя Мы, однако, покажем, что все еще выполнено и, следовательно, оцениваемы.

Определим два вспомогательных параметра задав их соотношением

Разрешая относительно получим

Подставляя получим

Сокращая в на общий множитель, получаем следующее выражение для

Поскольку линейная комбинация не может обращаться в нуль тождественно для всех условие автоматически выполнено. Следовательно, оцениваемы, поскольку их легко восстановить по используя

Обратимся к оцениваемости систем при наличии тренда. Рассмотрим предположения о векторе тренда Как в так и в предполагается, что составляющие вектора линейно независимы. Предположение достаточно для большинства применений, однако важный класс функций тренда не удовлетворяет Поскольку тренд такого вида возникает в ряде задач, необходимо исследовать предположение Обеспечивая линейную независимость составляющих вектора исключает тренды вида для которых

оцениваемость не имеет места. Предположение влечет но не наоборот. Тригонометрические функции удовлетворяют предположениям функции вида или удовлетворяют но не удовлетворяют

На случай наличия тренда теорема обобщается следующим образом.

Теорема Пусть для процесса у вида выполнены предположения Тогда условие достаточно (но не необходимо) для оцениваемости коэффициентов уравнения

Для доказательства теоремы достаточно показать, что влекут Оцениваемость всех коэффициентов уравнения вытекает тогда из теоремы

Чтобы понять, почему не является необходимым условием оцениваемости, рассмотрим два примера. Уравнение из примера не удовлетворяет тем не менее его коэффициенты оцениваемы. С другой стороны, не выполняется для уравнения из следующего ниже примера и коэффициенты этого уравнения не являются оцениваемыми.

Пример Рассмотрим уравнение

Вектор тренда удовлетворяет и не удовлетворяет так что все коэффициенты не являются оцениваемыми. Для дальнейшего анализа разделим на

Чтобы выразить через используем тождество

Из можно восстановить но нельзя восстановить три параметра по

Несовпадение выводов об оцениваемости в примерах можно объяснить тем, что в примере набор составляющих вектора тренда «неполон» в том смысле, что не существует матрицы такой, что

С другой стороны, функции тренда в примере образуют полный набор, т. е. существуют такие постоянные что

В примере уравнение сохраняет информацию об даже после деления уравнения на тогда как в примере сокращение на множитель приводит к полной потере информации об и система оказывается неоцениваемой.

Эти примеры наводят на мысль, что условие теоремы может оказаться и необходимым, если предположение теоремы заменить более сильным предположением Условие представляет собой обобщение условия которому должны подчиняться тренды.

А4". Вектор тренда удовлетворяет и условию

где постоянные -векторы, а функции таковы, что

Система примера удовлетворяет предположению тогда как система примера нет.

Рассмотрим, наконец, случай, когда нарушение оцениваемости вызывается функциями тренда, не удовлетворяющими предположению Свойство оцениваемости можно обеспечить здесь или перегруппировкой составляющих функции тренда, или отбрасыванием некоторых из них и тем самым сокращением числа коэффициентов, входящих в функцию тренда. Например, коэффициенты уравнения в примере можно сделать оцениваемыми, если сохранить в уравнении лишь одну функцию тренда, а именно .