3b. Типы эмпирических временных рядов

Трудно классифицировать все наблюдаемые временные ряды, поэтому ограничимся лишь несколькими классами временных рядов.

3b.1. Псевдопериодические ряды без видимого «роста».

Рассмотрим эмпирические ряды, такие как годичное число

солнечных пятен годичный отлов канадской рыси и месячный речной поток демонстрирующие четко выраженное циклическое поведение примерно с периодом но не имеющие никакого заметного роста. Периодичность и соответствующий период могут быть также установлены построением периодограммы данных.

Рис. 3Ь.1.1. Годичные данные о числе солнечных пятен. (Числа Вольфера; ряд

Периодограмма должна дать острый пик на частоте цикла в единицу времени. Такие ряды могут описываться любым из следующих классов моделей:

Класс 1. Слабостационарные процессы, описываемые моделями AR или ARMA со сплошными и несплошными составляющими AR такими, что полином в каждой из этих моделей имеет пару комплексных нулей, соответствующих наблюдаемой частоте

Класс 2. Ковариационно-стационарные процессы, описываемые моделями AR или ARMA с детерминированным трендом, содержащим синусоидальные составляющие частоты и кратных ей частот.

Класс где описывается моделью ARIMA без постоянных составляющих.

Класс 4. Сезонные модели ARIMA с периодом

Класс 1 известен также под названием процессов Слуцкого — Юла, так как они были первыми исследователями, показавшими, что стохастические последовательности могут иметь систематические колебания, не включая в явном виде синусоидальных составляющих.

Мы полностью исключили класс детерминированных моделей, содержащих комбинации синусоид, по причинам, приведенным в За. Однако это не означает, что модели класса 2, т. е. ковариационно-стационарные модели, всегда проигрывают в сравнении с моделями из класса 1. Мы не можем исключить никакой класс моделей по чисто идеологическим причинам.

Рис. 3b.1.2. Годичные данные об отлрве канадской рыси (ряд

Рис. 3b.1.3. Месячные данные о расходе воды в реке Кришна у Виджаявады, Индия

Мы должны построить наилучшие модели в каждом классе и сравнить их, прежде чем прийти к определенному заключению.

В качестве иллюстрации были взяты ряды годичного числа солнечных пятен, отлова канадской рыси и месячного речного потока (река Кришна у Виджаявады в Индии). Фрагменты этих временных рядов показаны на рис. 3Ь.1.1, ЗЬ.1.2, ЗЬ.1.З соответственно. Заметим, что для того, чтобы их различить, не удается найти наглядных признаков.

Найдено, что наилучшей моделью для ряда месячного речного потока является модель из класса 2, т. е. уравнение AR с синусоидальными членами соответствующей частоты. Подробности по этой модели даны в гл. Ряд числа солнечных пятен лучше описывается моделью из класса 1. Конкретно, для ряда солнечных пятен наилучшая модель имеет вид

Найдено, что наилучшее значение должно быть равно 9, несмотря на то, что периодичность данных составляет примерно 11,6 года. Эта модель лучше (в смысле, описанном в гл. XI) соответствует экспериментальным данным, чем обычные модели широко обсуждаемые в литературе и введенные Юлом (1927). Модели значительно лучше детерминированных моделей, содержащих синусы и косинусы частоты а также кратных ей. Для ряда годичного отлова канадской рыси модель класса 1 также дает приемлемые результаты при условии, что к ней добавляется член как показано в гл. XI.

3b.2. Приближенно периодические ряды с ростом.

Рассмотрим такие ряды, как месячный сбыт компании X, приведенный на рис. Ряд содержит ясно выраженную возрастающую компоненту и имеет почти циклический характер с периодом в 12 месяцев. Имеются два возможных класса моделей для такого ряда.

Класс 1. Ковариационно-стационарные процессы, описываемые уравнениями AR и ARMA с добавленными к ним функциями детерминированного тренда типа

Класс 2. Сезонные модели ARIMA.

Данным о сбыте лучше подходит модель из класса 1. Наиболее подходящая модель из класса 2 не очень хороша с точки зрения предсказания, как объяснено в гл. XI. Тем не менее, опираясь на столь малое число примеров, мы не можем делать общих выводов об относительных достоинствах сезонных ARIMA-моделей по сравнению с ковариационно-стационарными моделями.

3b.3. Временные ряды с ростом, но без периодической или почти периодической компоненты.

Рассмотрим временные ряды, обнаруживающие рост или убывание, но не содержащие периодических или почти периодических колебаний. Примерами являются ряд ежедневных биржевых цен акций фирмы IBM на рис. (Бокс, Дженшшс, 1970), ряд ежегодных данных о численности населения США на рис. За. 1.2 и ряд РТДП на рис. Возможными классами моделей, описывающих эти процессы, могут быть следующие:

Класс 1. IAR-, IMA- или ARIMA-уравнения, не содержащие постоянного члена.

Класс 2. IAR-, IMA- или ARIMA-уравнения с постоянным членом

Класс 3. AR-, MA- или ARMA-уравнения с детерминированным трендом, содержащим члены вида

Модели из класса 1 полезны для представления рядов, где рост не очень велик, как в случае данных о ценах акций фирмы IBM. В противном случае приходится пользоваться моделями из класса 2 или 3. Напомним, что если модель принадлежит классу 2, то ее можно представить как сумму или подходящего полинома от и другого процесса у, который описывается уравнением ARIMA без постоянного члена.

Рис. 3Ь.3.1. Ежедневные данные о биржевых ценах на акции фирмы IBM с 17 мая 1961 г. по 2 ноября 1962 г. (ряд

Рис. 3Ь.3.2. Ежеквартальные данные о валовом национальном продукте США (ряд

Таким образом, линейный детерминированный тренд эффективно присутствует в моделях класса 2. В классе 3 допускается более широкое множество типов тренда.

Типичными рядами, которые могут быть успешно описаны моделями класса 2, являются ряд годового валового национального продукта приводящий к модели в виде уравнения IMA первого порядка, и ряд , приводящий к уравнению IMA первого порядка. Ряд валового национального продукта показан на рис. 3b.3.2.

Некоторые ряды, такие как численность населения США и размер популяции американского журавля, растут экспоненциально. Можно попытаться описать их моделью класса 3 с экспоненциальным трендом. Часто (хотя и не всегда) соответствие моделей неудовлетворительное. В таких случаях можно прологарифмировать данные и взять для преобразованных данных модели из класса 2, например Подробности обсуждаются в гл.

3b.4. Ряды без периодической составляющей и роста.

Рассмотрим временные ряды, такие как ряд Т1 (рис. 3b.4.1), являющийся рядом отсчетов температуры химического процесса, регистрируемой ежеминутно, или фонограмма речи (рис. 3b.4.2), которые не имеют никакого устойчивого роста, убывания или приблизительно периодических колебаний. Во временном ряде взятом из книги Бокса и Дженкинса (1970), иногда наблюдается рост, иногда спад, в то время как в связанном с ним ряде (рис. имеются нерегулярные колебания. Фонограммы могут быть более или менее гладкими в зависимости от звукового состава речи.

Для представления таких рядов следует рассмотреть толыко два класса моделей.

Класс 2. Класс AR-, МА- или ARMA-моделей.

Класс 2. Класс IAR-, IMA- или ARIMA-моделей без постоянных членов.

По внешнему виду ряда, описывающего звуковые волны речи, трудно подобрать подходящий класс моделей. Обычно сначала используют модели из класса 1. Если наилучшая модель из этого класса такова, что соответствующий полином имеет нуль на единичной окружности или вблизи нее, то приходится также рассматривать модели из класса 2. В противном случае можно остановиться на классе 1.

Если процесс все же подчиняется IAR-уравнению, но мы стараемся аппроксимировать его AR-моделью, то точность оценок в AR-уравнении может быть относительно низкой. Этот факт установлен в гл. VII. Например, пусть процесс у описывается IAR-процессом первого порядка

который можно переписать в виде

(кликните для просмотра скана)

где

Любая оценка параметров уравнения полученная без явного использования ограничения является сравнительно менее точной, чем оценка единственного параметра в уравнении

Рассмотрим далее относительную способность предсказания на 1 шаг вперед для двух классов моделей. Иногда лучшая модель класса 1 лучше всего соответствует процессу среди всех классов моделей.

Рис. 3b.4.3. Данные о концентрации в химическом процессе, снимаемые каждые два часа (ряд (По Боксу, Дженкинсу, 1970.)

В других случаях наилучшей предсказывающей моделью может быть модель из класса 2 и, наконец, наиболее подходящие модели из обоих классов могут иметь одинаковое качество. Например, для ряда наиболее подходящие модели из классов 1 и 2 дают более или менее одинаковое качество предсказания. Для фонограммы речи наиболее удачной моделью является обычная AR-модель.