6е.2. Оптимальный прогноз в случае систем с одним входом.

Будем исходить из уравнения такого вида, как в Принимаем также относящиеся к нему предположения. Пусть где известны, причем дисперсия шума. Согласно теории, изложенной в § 6b, выполнены условия

Рассмотрим некоторые частные случаи. Случай (I). Пусть Отсюда

и, усредняя по 0, получаем

Прогноз может осуществляться в реальном масштабе времени, поскольку оценка 0 может вычисляться в таком же масштабе по алгоритму Определение 0 не требует значения дисперсии Кроме того, оптимальное правило прогноза совпадает с частным правилом, упомянутым в п. 6е.1.

Мы можем получить также среднеквадратическую ошибку прогноза для правила Имеем

согласно Но согласно

Таким образом,

Если предположить, что не содержит членов в виде растущего тренда, а процесс стационарный в широком смысле, то, как можно показать, справедливы следующие соотношения:

где размерность вектора 0. Если бы параметр был известен, то средиеквадратическая ошибка прогноза равнялась бы Когда 0 неизвестен и должен оцениваться, средиеквадратическая ошибка прогноза увеличивается в раз. Случай Пусть

Усредняя по 0 с учетом получаем

Частное правило прогноза в этом случае будет иметь вид

Таким образом, оптимальное правило прогноза резко отличается от частного правила прогноза.

Явное выражение для среднеквадратической ошибки прогноза найти трудно. Однако можно сравнить среднеквадратические ошибки для оптимального правила прогноза и для частного правила прогноза:

Третий член в правой части равен нулю, поскольку Упрощая с использованием выражений для у и у, получим следующее значение разности среднеквадратических ошибок прогнозов :

Мы видели раньше, что величина имеет порядок Таким образом, можно рассчитывать, что квадратичный член в стремится к нулю при стремящемся к бесконечности. Для определения самих среднеквадратических ошибок прогнозов и у можно использовать численные методы.

Прогноз согласно рекуррентно пересчитывается, если дисперсия известна, поскольку можно пересчитывать рекуррентно. Если неизвестна, то ее можно заменить на оценку условного максимального правдоподобия для

Однако вычисление оценки неосуществимо в реальном масштабе времени. Рекуррентная формула для оценки может быть записана в виде

Правило прогноза в котором заменено на — 1) согласно реализуется в реальном масштабе времени. Правило прогноза замененным на или неоптимально, т. е. не минимизирует какую-либо разумную функцию риска.