11а.5. Анализ циклического изменения популяции канадской рыси.

Мы рассмотрим эмпирический временной ряд ежегодной численности популяции канадской рыси, состоящей из 114 наблюдений за период с 1821 по 1934 гг. Временной ряд представлен на рис. 3Ь.1.2 (Элтон, Никольсон, 1942). Видна четкая циклическая составляющая с периодом в 9,7 при отсутствии систематического роста или спада. Одной из целей моделирования этого ряда является определение возможных причин его колебательного характера. Ряд анализировался многими авторами и, в частности, Мораном (1953) и Хеннаном (1964).

Имеются серьезные основания полагать, что стохастический вариант уравнения Гомпертца является вполне адекватной моделью, поскольку ряд не содержит компонент роста. Случайное воздействие в правой части уравнения (11а.2.11) можно интерпретировать как численность популяции зайцев, являющихся

Таблица 11а.4.1. (см. скан) Прогнозы на год вперед численности популяции американского журавля

одним из основных источников пищи для рысей. Мы будем моделировать численность рысей, рассматривая численность зайцев в качестве экзогенного фактора.

Разностное уравнение, получаемое дискретизацией стохастического уравнения Гомпертца (11а.2.16), имеет вид

При необходимости можно включить дополнительные переменные с запаздывающим аргументом. Наиболее интересна определение того, является ли константой, или же равен сумме константы и синусоидальных членов частоты Это можно выяснить с помощью метода выбора класса, изложенного в гл. VIII. Если окажется, что соответствующая модель для должна содержать синусоидальные члены, то можно принять пробную гипотезу о том, что колебания ряда вызываются экзогенной переменной.

Мы рассмотрим пять классов моделей, разностные уравнения которых приведены ниже. Пусть

Тогда

Класс мы включили по той причине, что модели этого класса оказались полезными при моделировании временных рядов с колебаниями (модель класса наиболее подходит для описания рядов солнечных пятен).

Таблица 11а.5.1. (см. скан) Средний квадрат ошибок и оценки коэффициентов различных моделей численности рысей

Классы не требуют пояснений. В 94 мы включили синусоидальные члены частоты поскольку эта частота оказывается доминирующей в критерии для остатков наиболее согласованной модели класса

А. Выбор класса. В табл. 11а.5.1 приведены условно максимально правдоподобные оценки параметров моделей каждого из классов и отвечающие им остаточные дисперсии, полученные по всем 114 наблюдениям. Используя остаточные дисперсии можно сравнить классы методом правдоподобия, изложенным в п. 8b.1. Непосредственно видно, что наилучшим оказывается класс С2, в полном соответствии с методом правдоподобия. Этот выбор можно подкрепить изложенным в методом предсказания в реальном времени или в рекуррентной форме. Мы оцениваем параметры каждой из моделей в реальном времени, вычисляем прогнозы на шаг вперед, а затем вычисляем среднеквадратические значения по значениям последних 57 ошибок прогноза. Эти значения обозначены через в табл. 11а.5.1.

Ошибка предсказания имеет наименьшее значение для наилучшей согласованной модели из класса подкрепляя наше предпочтение модели класса Ниже мы дадим обоснование

модели наиболее согласованной в классе Мы исследуем также возможность обоснования модели поскольку она часто упоминалась в литературе.

В. Проверка гипотезы об остатках. С помощью критериев гл. VIII мы хотим проверить гипотезу, что остатки для моделей являются белым шумом. Критерии 5 и 6 гл. VIII ясна указывают на отсутствие корреляции остатков для на -процентном уровне значимости. Затем мы проверим гипотезу об отсутствии синусоидальных членов в остатках для модели Периодограмма остатков содержит относительно острые пики на частотах определенных ниже. Поэтому желательна проверка гипотезы о наличии этих частот в остатках.

Обозначим через гипотезу о том, что остатки являются белым шумом. Применим сначала критерий Фишера (критерий 3). Он является критерием проверки сложной гипотезы и используется для определения доминирующих частот в множестве частот колебаний в год, Обозначим через периодограмму, отвечающую частоте

Тестовая статистика для равна Напомним, что число остатков, равное 112. По критерию Фишера

Таким образом, существование синусоидального члена частоты в последовательности в высшей степени неправдоподобно. Тот же вывод верен для двух других частот

Используем теперь критерий 2 гл. VIII и проверим остатки для модели на наличие тренда отдельно для каждой из частот Рассмотрим частоту Значение тестовой статистики равно При нулевой гипотезе статистика распределена как Следовательно, так что на 95-процентном уровне значимости наличие колебания частоты и в самом деле значимо! Аналогичным образом значимы частоты на том же уровне. С другой стороны, если выбрать -процентный уровень значимости, то ни одна из частот не является значимой!

Используем, далее, критерий 4, т. е. критерий кумулятивной периодограммы. Кумулятивная периодограмма остатков, т. е.

график для в интервале представлен на рис. 11a.5.1. Она расположена внутри -про-центной доверительной полосы около прямой, соединяющей точки (0; 0) и (0,5; 1), показывая, что в остатках отсутствуют синусоидальные члены на -процентном уровне значимости.

Таким образом, мы видим, что на -процентном уровне значимости результаты применения критериев противоречат друг другу. Это несоответствие усиливается, если учесть, что критерий 3 является наиболее мощным симметрическим критерием, а критерий 2 — равномерно наиболее мощным среди всех критериев, зависящих от Если, однако, использовать -процентный уровень значимости, то все критерии приводят к одному и тому же решению о принятии нулевой гипотезы Таким образом, кажется соблазнительным принять для остатков гипотезу следовательно, модель для исходных данных. Трудность состоит здесь в том, что авторегрессионная модель плохо согласована с заданным процессом, как это следует из сравпения на рис. 11а.5.2 коррелограмм для исходных данных и для авторегрессионного процесса. Таким образом, результат проверки гипотезы об остатках для модели является неубедительным. Остатки модели вообще не указывают на наличие синусоидальных членов.

Рис. 11а.5.1. Кумулятивная периодограмма остатков по модели численности рысей.

С. Сравнение характеристик моделей Можно сравнить также эмпирические коррелограммы исходных данных с коррелограммами выходных сигналов моделей Эмпирическая коррелограмма — это график зависимости от аргумента где

Теоретическая и эмпирическая коррелограммы приведены на рис. 11а.5.2. Заметим, что коррелограмма модели находится в лучшем согласии с эмпирической коррелограммой, чем коррелограмма модели Более того, коррелограмма исходных данных лежит в пределах двух стандартных отклонений от коррелограммы

модели чего нельзя сказать о модели Стандартные отклонения для коррелограмм вычислены по формулам гл. II. Сравнение спектральных характеристик также показывает, что модель адекватно представляет спектр исходных данных.

Итак, модель содержащая авторегрессионные члены и синусоидальные составляющие, хорошо представляет данные.

Рис. 11а.5.2. Сравнение эмпирической коррелограммы с коррелограммами по моделям и численности рысей.

Если записать в виде то легко видеть, что нули комплексные числа, поэтому колебания во временном ряде следует приписать внешнему фактору. Чтобы определить внешние факторы, вызывающие колебания, необходим дальнейший анализ.