9d. Проверка адекватности моделей

Как и в одномерных моделях, нужно обосновать модель как проверкой остатков на близость к белому шуму, так и непосредственным сравнением выходных характеристик модели с характеристиками наблюдаемых данных. Рассмотрим проверку остатков.

Пусть имеется остаточных векторов Можно нормировать их таким образом, чтобы эмпирическое среднее равнялось нулю, а матрица ковариаций была единичной матрицей. Нормированную последовательность обозначим через Можно рассмотреть скалярные последовательности и применить критерии близости к белому шуму из гл. VIII. Кроме того, нужно проверить взаимные корреляции между различными остаточными переменными.

9d.1. Критерии, основанные на остатках.

9d.1.1. Критерии, основанные на методах, использующих зависимость от времени.

Критерий 1. Можно вычислить эмпирические взаимные корреляции

для различных и и проверить, применяя критерий значимо ли они отличаются от нуля. Или же можно просто проверить, находятся ли они в пределах двух стандартных отклонений, т. е. внутри интервала от нулевого значения.

Критерий 2. Это многомерный аналог критерия Здесь мы имеем дело с вектором остатков

Нулевая гипотеза: (белый шум).

Альтернативная гипотеза: описывается AR-процессом порядка Для сравнения двух гипотез можно использовать критерий из Пусть единичная ковариационная матрица ковариационная матрица остатков после «подгонки» AR-модели порядка к последовательности Если нулевая гипотеза справедлива, то

Выбрав подходящий уровень значимости, можно легко рассчитать порог.

9d.1.2. Критерии, основанные на спектральных методах.

Дадим спектральные критерии для проверки двух последовательностей на некоррелированность.

В этих критериях потребуются следующие определения: пусть

Эмпирическая взаимная спектральная плотность задается в виде

Фаза взаимной спектральной плотности равна

и взаимный спектр равен

Критерий 3: интегрированный фазовый критерий. Этот критерий похож на критерий кумулятивной периодограммы в п. 8с.2.2. Если и некоррелированы, можно показать (Дженкинс, Уотте, 1968), что приблизительно равномерно распределена в интервале Пусть

График кумулятивного фазового спектра в случае, если две последовательности некоррелированы, должен представлять собой прямую линию. Поскольку может принимать как положительные, так и отрицательные значения, наклон графика кумулятивной фазы спектра может принимать значения либо +1, либо — 1. Чтобы рассмотреть отклонение от прямой, нужно построить 95- и 75-процентные доверительные интервалы на расстоянии от теоретического кумулятивного спектра.

Критерий 4: критерий интегрированного взаимного спектра.

Если процессы некоррелированы, математическое ожидание должно быть равно нулю при всех Следовательно, график представляет собой линию, близкую к оси абсцисс (оси ) и колеблющуюся около нее (Дженкинс, Уотте, 1968).

9d.2. Другие критерии проверки адекватности.

Как и в случае одномерных моделей, критерии, основанные на остатках и представленные, в п. 9d.l, накладывают слабые ограничения на модели. Факт, что модель не удовлетворяет этим критериям проверки адекватности, указывает на то, что в модели имеется какая-то грубая ошибка. Но из того, что модель удовлетворяет этим критериям, вовсе не следует, что модель удовлетворительна. В частности, модели с постоянными коэффициентами могут удовлетворять всем вышеупомянутым критериям проверки адекватности. Однако тщательный анализ может обнаружить, что коэффициенты значительно изменяются во времени. Следовательно, требуется сравнить все модели, удовлетворяющие всем критериям проверки адекватности, прежде чем прийти к окончательной модели. Нельзя исключать возможности, что несколько моделей, значительно отличающихся одна от другой, будут удовлетворять всем критериям проверки адекватности. Чтобы убедиться в том, что модель с постоянными коэффициентами приемлема, нужно использовать рекурсивный реальном масштабе времени) алгоритм оценки параметров для получения оценки параметра , построенный по прошлым наблюдениям до момента Можно проверить, совместимы ли изменения последовательных оценок с соответствующими теоретическими стандартными отклонениями оценок.

Можно непосредственно сравнить различные статистические характеристики выходного сигнала, такие как ковариационные матрицы и матрицы спектральных плотностей с соответствующими (матричными) характеристиками эмпирических данных. Такие процедуры аналогичны описанным в гл. VIII.

9е. Заключение

Дан краткий обзор некоторых процедур обоснования для построения моделей многомерных временных рядов, ограничивающийся теми методами, о которых известно, что на практике они дают адекватные результаты. Построив соответствующие одномерные модели, можно получить предварительную многомерную модель. Эта предварительная модель предлагает различные классы моделей, подлежащих сравнению методами выбора классов. Некоторое внимание уделено также проблеме причинности и задаче выбора подходящих переменных в каждом уравнении. Приведены методы непосредственного сравнения для многомерных моделей и для обоснования многомерной модели.

Имеются и другие методы обоснования, полезные в частных случаях. Они здесь не обсуждались ввиду нехватки соответствующей информации, относящейся к их использованию.