6f. Системы с медленно изменяющимися параметрами

6f.1. Описание модели.

Разностные уравнения с коэффициентами, изменяющимися во времени, должны рассматриваться в тех случаях, когда мы считаем, что модели с постоянными коэффициентами не могут полностью согласовываться с данными. Начнем рассмотрение с модели

где постоянные, применяющиеся во времени коэффициенты. Пусть

где постоянные, а последовательности случайных величин с нулевым математическим ожиданием, статистически независимых от и удовлетворяющих уравнениям

где -последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с нулевыми математическими ожиданиями и дисперсиями Для задачи оценивания удобно описать систему в пространстве состояний. Пусть

-мерный вектор,

Тогда уравнения и тот факт, что постоянные, можно выразить следующим образом:

Здесь дано, а

последовательность независимых одинаково распределенных случайных векторов с нулевым средним и ковариационной матрицей

Уравнения можно записать в виде

Уравнения имеют стандартную форму записи для применения теории Калмана — Бьюси (Калман, 1963). Можно упомянуть, что произведено очень мало исследований свойств системы (6f.l.4).

6f.2. Оценивание параметров.

Нетрудно вывести следующее выражение для функции правдоподобия:

Чтобы получить оценки максимального правдоподобия для неизвестных величин, используя данные наблюдения нужно максимизировать вышеприведенные выражения не только относительно неизвестных постоянных но также и относительно случайных величин Вообще говоря, это труднопреодолимая задача максимизации. Когда известны, может быть получено элегантное рекуррентное решение на языке теории Калмана. В общем случае можно получить лишь приближенные решения, так как не существует вычислительных программ, которые могли бы осуществлять максимизацию даже при порядка всего лишь 200. Но эти результаты, по-видимому, не слишком чувствительны к выбору т. е. приближенного знания значений и достаточно для того, чтобы дать хорошие оценки постоянных

Случай Постоянные известны.

Пусть оценка условного максимального правдоподобия для основанная на

условная ковариационная матрица равная

Уравнения дискретного фильтра Калмана, вычисляющего имеют вид

Для решения уравнений требуются начальные значения Можно предложить выбирать их так:

где k — большое целое число.

Случай неизвестны. Когда неизвестна, наиболее простой путь получения приближенной оценки заключается в оценивании соответствующей величины в соответствующей системе с постоянными коэффициентами. Если коэффициенты системы изменяются достаточно медленно, эти две оценки не будут слишком сильно отличаться.

Будем оценивать неизвестные элементы матрицы А в реальном масштабе времени, обращаясь с оценками так, как если бы они были истинными значениями т. е.

Пусть

Имеем алгоритм

для которого начальные значения выбираются так же, как и выше.

6f.3. Свойства оценок

В случае (I) условная ковариационная матрица оценки при заданных — 1) равна . В случае (II) это утверждение уже будет не вполне точным. Вычисления нижней границы в неравенстве Крамера осуществить довольно трудно, и поэтому они здесь не рассматриваются.

В случае (II) последовательность имеет независимые члены, если модель — правильная. Эта последовательность играет ту же самую роль, что и последовательность остатков в системе с постоянными коэффициентами. Проверка этой последовательности на независимость ее членов дает проверку адекватности модели.