6g. Робастное оценивание в случае AR-моделей
Для некоторых эмпирических временных рядов авторегрессионная модель, у которой коэффициенты получаются с помощью алгоритма 
оказывается до известной степени неадекватной. Например, рассмотрим AR-модель, получаемую исходя из последовательности 
наблюдений (где, например, 
речевого сигнала. В спектральной плотности сигнала этой модели не обнаруживаются некоторые из доминирующих частот, которые несомненно проявились бы при других методах анализа, таких как спектрограммы (Маркел, 1972). Одной из возможных причин такого поведения, по-видимому, является то, что частота 
неявно вводимая продолжительностью данных, не используется явно в модели. Такой недостаток можно исправить, используя функцию «окна». Как правило, если 
данная совокупность наблюдений, мы строим новую совокупность 
и подбираем AR-модель для последовательности 
где 
Функция окна 
выбирается произвольно следующего вида: 
Новая AR-модель не страдает вышеупомянутым недостатком (Маркел, 1972).
Если временной ряд, получаемый на выходе системы, описываемой уравнением (6а. 1.1), содержит несколько членов с необычно большими значениями, т. е. со значениями, которые отличаются от среднего на много стандартных отклонений, то оценки коэффициентов, получаемые по алгоритму 
будут непригодными. Квадратичная функция потерь не подходит в этих случаях, так как она придает чрезмерные веса остаткам для таких «нетипичных» наблюдений. В этих случаях уместно использовать следующую функцию потерь (Нэсбург, Кашьяп, 1975):
если
Для выбора 0, минимизирующего 
может быть предложен итерационный метод. Можно показать, что последовательность 
получающаяся при использовании нижеследующего метода градиентов второго порядка, сходится к значению 0, минимизирующему 
Алгоритм
где
a - постоянная, обычно выбираемая равной 0,5; с — любое число между 1 и 2. Начальным значением для этого алгоритма служит оценка 0, получаемая по алгоритму 
Исходя из этой оценки получается предварительная оценка дисперсии остатков 
т. е.
6h. Заключение
Эта глава посвящена оцениванию параметров процессов авторегрессии и обобщенной авторегрессии как для систем с одним выходом 
так и для систем со многими выходами 
Вначале описываются различные типы оценок максимального правдоподобия, а именно оценки максимального правдоподобия на основе полной информации, условного максимального правдоподобия и квазимаксимального правдоподобия, и обсуждаются свойства этих оценок. Затем рассматриваются байесовы оценки, характеризующиеся тем, что любая имеющаяся априорная информация о параметрах может использоваться в процессе оценивания.
Были рассмотрены три различных типа вычислительных процедур. Во-первых, рассмотрено итерационное оценивание параметров системы с одним выходом. В некоторых случаях алгоритм
может быть записан в такой форме, что вычисления оказываются выполнимыми и оценки могут пересчитываться в реальном масштабе времени. Во-вторых, обсуждается компактный способ подстройки ряда AR-моделей различного порядка к одним и тем же данным. В-третьих, обсуждается задача оценивания параметров в системах с медленно изменяющимися характеристиками.
Наконец, рассмотрена задача одновременного прогноза и оценивания параметров, т. е. задача прогноза процесса, описываемого разностными уравнениями, содержащими неизвестные параметры.
