2i. Временная характеристика разброса в измененном масштабе

Во многих случаях стандартная характеризация процесса вторыми моментами, задаваемая с помощью спектральной плотности или коррелограммы, недостаточна для анализа процесса,

особенно когда приходится иметь дело с его экстремальными значениями. Например, проектируя плотину на реке, мы заинтересованы в знании ожидаемого значения максимума суммарного стока за определенный промеяуток времени. Другим примером является задача управления запасами, где надо знать суммарный спрос за определенный период времени. В изучении таких задач, включающих скалярную последовательность случайных величин, полезна временная характеристика разброса с измененным масштабом. Информация, даваемая ею, дополняет информацию, доставляемую спектральной плотностью. Важность этой характеристики была впервые отмечена Херстом и др. (1965) при анализе различных временных рядов, взятых из «реальной жизни», таких как толщина годовых колец дерева, солнечные пятна, речные потоки и атмосферные осадки.

Определим диапазон (разброс) для скалярной последовательности случайных величин с нулевым средним формулой

Заметим, что неотрицателен для всех Качественный характер изменения в зависимости от можно установить, рассматривая следующую величину более удобную для анализа:

Очевидно, что удовлетворяет разностному уравнению

откуда можно получить выражение для среднего значения и дисперсии Применяя операцию математического ожидания к получим

где совместная плотность вероятности Упрощая получим

где плотность вероятности Из формулы следует, что а следовательно, и изменяются линейно в зависимости от интервала Этот результат оказывается несколько удивительным, учитывая, что стремится к ±1 с вероятностью 1 при согласно закону повторного логарифма.

Найдем средний квадрат следовательно, его дисперсию. Возводя обе части в квадрат и беря математическое ожидание, получим

Предположим, что является последовательностью независимых одинаково распределенных величин, тогда независимы. В этом случае последний член в правой части равен

или

где

Согласно как и дисперсия растет линейно с ростом При выводе процесс предполагался последовательностью независимых одинаково распределенных величин. Соотношение (21.1.7) выполняется асимптотически, если является асимптотически устойчивым процессом, описываемым моделью ARMA с нулевым средним.

Выше делалось предположение о том, что среднее значение процесса в точности равно нулю. На практике среднее значение обычно неизвестно и процесс может иметь даже изменяющееся во времени среднее. Для такого процесса определим переменную Рассмотрим произвольную последовательность не обязательно с нулевым средним. Определим Замечая, что положим

Можно проиллюстрировать роль переменной х на следующем примере. Допустим, что представляет собой речной поток в течение месяца в некотором сечении и необходимо спроектировать в этом сечении водохранилище. Предположим, что в момент нам известны заранее значения потока в следующие месяцев. Если мы примем политику постоянного расхода величиной в течение всех месяцев, то фактическое количество воды в водохранилище в месяце будет Величина при этом определяет емкость водохранилища, необходимую для храненця воды в течение месяцев.

Удобно нормировать разделив ее на стандартное отклонение

Отношение является в данном случае характеристикой разброса с измененным масштабом.

Допустим, мы постулируем приемлемую динамическую вероятностную модель для заданной последовательности например, в виде стохастического разностного уравнения. Тогда можно рассмотреть следующие математические ожидания:

где правые части по предположению не зависят от

Разброс с изменением масштаба оценивается вычислением значений при различных значениях по наблюдаемым значениям Вычисления завершаются оцениванием значений для различных при заданном и усреднением этих значений по

Из вычислительных сообраячений невозможно оценивать при всех поэтому оцениваются

для всех где выбираются заранее. Оценка разброса с измененным масштабом, т. е. оценка обозначается через

В терминах постулированной модели процесса не удается получить аналитическое выражение для приемлемой меры точности оценки например, такой как средиеквадратическая ошибка Поэтому надо изучать точность оценки на эмпирической основе. Следовательно, оценка дисперсии оценки определяется следующим образом:

Степень близости оценки среднеквадратической ошибки к истинному значению среднеквадратической ошибки неизвестна. Все же стандартное отклонение дает достаточно хорошее представление об изменяемости оценки Таким образом, если оценки подсчитаны для двух независимых последовательностей значений одного и того же стохастического процесса, можно ожидать, что две оценки величины при одном и том же значении запаздывания различаются не более чем на

Очевидно, что важным моментом при вычислении оценки является выбор Возможный метод, используемый в примерах, рассматриваемых в этой книге, заключается в выборе целых с помощью следующего уравнения. Пусть где выбрано так, что Оценку разброса с измененным масштабом вместе с границами будем изображать на графике в зависимости от на логарифмической бумаге. Границы грубо характеризуют точность оценивания соответствующего среднего значения

Те части графика где значения почти равны общему числу имеющихся выборочных точек, не заслуживают большого доверия. Когда переменная имеет тот же порядок величины, что и различный выбор может привести к различным оценкам

Херст и др. (1965), Мандельброт, Уоллис (1969b) и др. исследовали много различных временных рядов естественных процессов, таких как толщина годовых колец дерева, годовые речные потоки, с помощью понятия разброса, определяемого несколько иным образом. Было найдено, что оценки значений в зависимости от на графике ложатся на прямые

линии, причем их наклоны меняются от 0,55 до 0,95 при условии, что ряды не содержат резко выраженных циклических компонент. Если же ряды содержат ярко выраженную циклическую составляющую, как в случае месячного речного потока или годовых последовательностей солнечных пятен, то график зависимости от состоит из двух отрезков прямых линий с изломом при значении несколько большем, чем соответствующий период колебаний в рядах. Следовательно, естественно возникает задача определения аналитической структуры процесса, обладающего такими характеристиками подчиняющегося правилу

Если у удовлетворяет слабостационарному ARMA-уравнению, то в асимптотике

Вероятно, из можно заключить, что ARMA-процесс не объясняет наблюдаемую характеристику. Однако такое сильное заключение преждевременно по двум причинам. Во-первых, мы знаем только, что (21.1.12) справедливо в асимптотике, но мы не знаем, как велико должно быть чтобы соотношение было верйо. Во-вторых, если мы моделируем слабостационарный ARMA-процесс на ЭВМ и строим график характеристик на выходе модели, то ее -характеристики являются также прямыми линиями с тангенсом угла наклона в пределах от 0,5 до 0,9. Это заставляет нас верить в то, что математическое ожидание рассмотренной здесь оценки может не быть равно т. е. оценка может быть смещенной. Анализ оценки при условии, что у является ARMA-процессом, чрезвычайно труден.

Были сделаны попытки рассмотреть совершенно различные классы моделей для того, чтобы объяснить характеристики Например, если у является так называемым процессом дробного шума (см. следующий параграф), то соотношение справедливо. Поэтому некоторые исследователи (Ман-дельброт, Уоллис, 1969а) предположили, что все происходящие в природе процессы, такие как выпадение осадков, описываются моделями дробного шума, а не конечными разностными уравнениями. Подробное сравнение моделей дробного шума с авторегрессионными моделями с постоянными коэффициентами для речных потоков, представленное в гл. X, показывает, что наилучшая модель дробного шума значительно уступает лучшей авторегрессионной модели с точки зрения предсказания, проверки гипотез и т. д. Обоснование FN-моделей с чисто физических позиций рассматривалось Шейдеггером (1970) и Клёмсом (1974).