2b. Стационарность

Процесс у называется ковариационно-стационарным, если для него справедливо условие

при произвольном и не обязательно постоянном векторе

Матрицы обычно называют автоковариационными. Далее всегда, когда вводятся ковариационные матрицы соответствующий процесс предполагается ковариационно-стационарным. Если справедливо лишь при то соответствующий процесс является лишь асимптотически ковариационно-стационарным.

Если же процесс является ковариационно-стационарным и, кроме того, вектор постоянен, процесс называется слабостационарным.

Необходимыми и достаточными условиями асимптотической ковариационной стационарности процесса у, удовлетворяющего являются условия Однако они не обеспечивают ковариационной стационарности ввиду произвольности начального условия разностного уравнения. Для того чтобы обеспечить ковариационную стационарность, требуется дополнительное предположение о начальных условиях, которое имеет вид

Ковариационно-стационарный процесс полностью описывается его средним значением, в общем случае зависящим от времени,

и множеством ковариационных матриц или соответствующей спектральной плотностью и средним значением:

или

где — частота, спектральная функция, производная

Сам процесс у имеет спектральное представление

где процесс с независимыми приращениями:

где

Менее строго, пусть -разложение в ряд Фурье данной реализации процесса у,

Тогда связь между преобразованием Фурье и спектральной плотностью имеет вид

где комплексно сопряжена с .