7а.3. Свойства оценок условного максимального правдоподобия.

7а.3.1. Распределение вероятностей ...

Широко известно, что оценка условного максимального правдоподобия состоятельная и асимптотически нормальная, причем ее условные математическое ожидание и ковариационная матрица соответственно равны

где

Безусловную ковариационную матрицу оценки можно легко найти, усредняя по

где

Оценка имеет асимптотически минимальную дисперсию, т. е. асимптотическая дисперсия, приведенная выше, совпадает с нижней границей в неравенстве Крамера - Рао. Доказательство этого утверждения аналогично излагаемому в гл. IV и V доказательству такого же свойства оценок квазимаксимального правдоподобия.

Оказывается, что оценки условного максимального правдоподобия состоятельны, если распределение помехи принадлежит более широкому классу, чем класс нормальных распределений. Кроме того, как известно, эта оценка состоятельна, даже если не выполнено предположение (статистическая независимость но при условии, что все остальные предположения справедливы и нам известна малая окрестность, содержащая неизвестный параметр Излишне добавлять, что оценка 0 не обязательно асимптотически эффективна при этих ослабленных предположениях.

7а.3.2. Распределение вероятностей для ...

Рассмотрим только случай системы с одним выходом, т. е. скаляр. Пусть Тогда оценка имеет асимптотически -распределение с степенями свободы. Поэтому

Таким образом, оценка имеет смещение порядка которое стремится к нулю при стремящемся к бесконечности,

или