10b.5. Коррелограммы, спектры и R/a-характеристики процессов среднемесячного расхода воды.

Коррелограммы, спектральные плотности и -характеристики последовательностей данных по месяцам приведены на рис. 10b.5.1 и 10b.5.2. Кратко затронем вопросы вычисления спектра мощности. Предварительные оценка

спектральных плотностей получались на основе соотношения

Рис. 10b.5.1. (см. скан) Коррелограммы (слева) и спектральные плотности (справа) процессов среднемесячного расхода воды.

Здесь частота в радианах за месяц, целое число, ближайшее к где число наблюдений; — ковариация при сдвиге А, выраженном в месяцах; предварительная оценка спектральной плотности при частоте .

Эти предварительные оценки сглаживались с использованием окна Хэмминга, как показано ниже:

Указанные оценки делились на (0). Итоговые графики приведены на рис. 10b.5.1.

Коррелограммы, изображенные на рис. 10b.5.1, отличаются ярко выраженным, особенно для рек Кришна и Годавари, колебательным характером с периодом 12 месяцев и имеют очень медленное затухание. Спектральная плотность последовательности данных по реке Уобаш имеет резкий пик, отвечающий годовому циклу.

Рис. 10b.5.2. Характеристики разброса в измененном масштабе для наблюденных данных по месяцам.

У спектральных плотностей последовательностей данных по рекам Кришна и Годавари имеются пики, отвечающие 12-, 6- и 4-месячным периодам. Спектральная плотность последовательности данных по реке Годавари имеет кроме того дополнительный слабый пик, отвечающий трехмесячному периоду. Относительная изрезанность спектра показывает, что ковариационно-стационарные модели были бы, пожалуй, более подходящими, чем

другие, например ARIMA-модели сезонных изменений, которые приводят к гладким спектрам.

Для данных по каждой реке -характеристика процесса расхода воды, приведенная на рис. 10b.5.2, составляется из двух

Рис. 10b.5.3. Характеристики разброса в измененном масштабе для данных по месяцам с устраненным трендом.

Рис. 10b.6.1. Изменения выборочного среднего и выборочного стандартного отклонения со временем (в днях) для процесса среднесуточного расхода воды в реке Уобаш близ Маунт-Кармела, штат Иллинойс.

прямых линий и имеет резкий излом при сдвиге, слегка превышающем 12 месяцев. Это общая особенность -характеристик квазипериодических последовательностей и проявляется она при сдвиге, несколько превышающем основной период. Если устранить различные составляющие, соответствующие доминирующим частотам в спектре, и определить -характеристики для данных с устраненным трендом, то все они окажутся приближенно прямыми линиями с угловыми коэффициентами, отличающимися от 0,5. Эти характеристики приведены на рис. 10b.5.3.

Рис. 10b.6.2. Коррелограммы для трех различных групп данных по суткам (река Уобаш).

В асимптотике процессы белого шума или другие процессы, описываемые разностными уравнениями с входным белым шумом, приводят к -характеристикам с угловым коэффициентом около 0,5. Была высказана гипотеза, что значительное отклонение углового коэффициента -характеристики от 0,5 свидетельствует о том, что процессы расхода воды в реках не могут описываться моделями

в виде стохастических разностных уравнений с входными белыми шумами. Мы обсудим это предположение несколько позже.