3а. Типы динамических стохастических моделей

3а.1. Детерминированные модели.

Исторически сложилось обыкновение представлять временные ряды детерминирозанными функциями времени, например, в виде комбинаций полиномов, или синусоид, или других функций времени. Такие модетя обычно неэкономичны в том смысле, что могут содержать большое число синусоидальных или полиномиальных членов. Самым большим недостатком таких моделей является то, что их способность предсказания процессов очень невелика. Например, если имеется временной ряд из 100 точек и используются первые 50 для подбора полинома порядка, а затем полученную модель используют для предсказания всех последующих наблюдений от 51-го до 100-го, то обычно ошибка предсказания, полученного такнм образом, очень велика. Это указывает на низкое качество модели. Причиной столь низкого качества является то, что вероятностная природа временных рядов в моделях, содержащих только детерминированные функции, совершенно игнорируется.

Приведем пример, поясняющий изложенные выше рассуждения. Рассмотрим задачу моделирования биологической популяции, например ежегодный прирост населения США. Соответствующий временной ряд для этих данных приведен на рис. 3а. 1.2. Чисто полиномиальная зависимость не может быть удовлетворительной при экспоненциальном росте населения. Принято представлять такие временные ряды с помощью детерминированной функции времени

так называемой логистической функции, включающей положительных параметра где у — население и время в годах. Функция является решением так называемого дифференциального уравнения Вольтерра

из которого очевидно, что скорость роста народонаселения мак

симальна, если значение и становится отрицательной при Некоторые другие похожие модели будут обсуждаться в гл.

Используя данные о населении США в 1840, 1900 и 1960 гг., можно вычислить константы в Окончательна уравнение (Монтролл, 1968) примет вид

где население в миллионах и календарный год после 1900.

Рис. 3а. 1.2. Данные ежегодных наблюдений за численностью населения США (ряд

Как можно видеть из рис. За. 1.3, соответствие, установленное уравнением вплоть до 1960 г., удовлетворительное.

Рис. 3а. 1.3. Население США. Логистическая кривая подобрана таким образом, что наблюдаемые точки в лежат на кривой. Точками отмечены данные переписи. (По Монтроллу, 1968.)

Для измерения эффективности модели используем ее для предсказания роста населения в и сравним эти

предсказания с наблюденными значениями. Предсказанные значения показаны на рис. 3а. 1.4, и их нельзя назвать хорошими. Ошибка предсказания может быть уменьшена в несколько раз с помощью модели, основанной на стохастическом разностном уравнении из гл. XI.

Рис. 3а.1.4. Данные ежегодных наблюдений численности населения США (сплошная линия) и прогноз на 1 год вперед по уравнению в течение (штриховая линия). (По Монтроллу, 1968.)

Этот пример наглядно иллюстрирует ограниченность чисто детерминированного моделирования любых временных рядов, даже с помощью сложных функций, таких как логистические функции. Поэтому мы не будем в дальнейшем исследовать эту тему, так как класс детерминированных моделей является подклассом ковариационно-стационарных моделей, рассмотренных в п. 3а.3.