Глава IX. ВЫБОР КЛАССА И ПРОВЕРКА АДЕКВАТНОСТИ МНОГОМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ

Введение

Расмотрим вопросы выбора и проверки адекватности многомерных моделей. Нет необходимости говорить о том, что все проблемы одномерных моделей, такие как выбор формы тренда, также возникают и в многомерном случае и доляшы решаться аналогичными способами. Кроме того, имеются и другие проблемы, относящиеся только к многомерным моделям.

При обсуждении задачи выбора класса в гл. VIII классы, подлежащие сравнению, предполагаются заданными. Они могли быть выбраны с помощью знания физического явления, лежащего в основе рассматриваемого процесса, интуиции или метода проб и ошибок. В многомерном случае разнообразие возможных моделей так велико, что очевидна необходимость знания некоторых основных принципов при выборе классов моделей, подлежащих сравнению. Рассмотрим, например, многомерную модель в канонической форме И, и пусть уравнение относительно имеет вид

где полиномы от

Включение всех переменных в уравнение для часто ведет к слишком избыточной модели. Поэтому ищется метод для выбора подходящих переменных среди необходимых в уравнении для Выбор таких тесно связан с вопросами причинности и рассматривается ниже. Вопрос причинности часто возникает в инженерных и экономических задачах. Разрешая подобные вопросы, можно получить класс моделей, который может быть исследован дальше методами выбора, аналогичными одномерному случаю.

Вопрос проверки адекватности в многомерных системах, очевидно, сложнее, чем в одномерном случае. Всегда можно построить индивидуальный критерий проверки адекватности для данной задачи на базе априорной информации о системе, однако имеется только несколько подробных эмпирических исследований по обоснованию многомерных моделей (Кенуй, 1957; Клейн, Эванс, 1968). А раз так, трудно судить об относительных

достоинствах различных предложенных методов. Мы все же дадим несколько методов проверки адекватности, являющихся обобщениями соответствующих одномерных.

Имеющий большое значение вопрос причинности подробно рассматривается во многих работах, связанных с моделированием экономических и других временных рядов. Одной из проблем в таких исследованиях является то, что модели с постоянными коэффициентами не всегда пригодны. Нет необходимости объяснять, что любое рассмотрение отношений причинности, не базирующееся на обоснованной модели, описывающей процесс, сомнительно. Кроме обсуждения причинности, приведенного ниже в этой главе, далее, в гл. XI, будут рассмотрены различные аспекты отношений причинности в связи с решением двух практических задач.

9а. Природа задачи выбора

Существует несколько причин для исследования многомерных моделей. Прежде всего, это возможность увеличения точности предсказания рассматриваемой переменной с помощью наблюдения ряда других переменных. Вторая причина состоит в том, что если мы заинтересованы в построении моделей для управления или для получения синтезированных данных, важно, чтобы такие свойства, как взаимный спектр между различными переменными, хорошо воспроизводились моделью.

Однако во многих сложных многомерных моделях, встречающихся в литературе, делается неявное допущение, что сложные многомерные модели всегда превосходят относительно простые одномерные модели с точки зрения предсказания. Мы видели, что даже в одномерной модели добавление слишком большого числа членов ведет к ухудшению прогнозирующей способности модели. Это должно быть справедливо и для многомерных моделей. Рассмотрим, например, эконометрическую модель для прогноза таких переменных, как валовой национальный продукт. В модели 171 уравнение. Некоторые исследователи (Нельсон, 1973) нашли, что в некоторых случаях более простая одномерная модель для рассматриваемой переменной лучше прогнозирует, чем сложная многомерная модель. В свете этих результатов было предложено использовать взвешенную комбинацию предсказаний, заданных сложной многомерной моделью, и предсказаний более простой одномерной модели для получения хорошего прогноза этой переменной. Можно рассмотреть другой пример из области, более знакомой для нас. Рассмотрим модели ежемесячных речных потоков. Несомненно, дождь — основной источник увеличения речных потоков. Но количество осадков, измеренное на станции, дает относительно мало информации о ежемесячном речном потоке для большого

бассейна площадью в несколько тысяч квадратных километров. Поэтому прогноз речного потока, полученный регрессией значений потока на величины атмосфермых осадков на множестве станций, часто значительно хуже, чем прогноз, полученный одномерной моделью потока. Прогнозы речного потока, полученные с использованием прошлых наблюдений как потока, так и осадков, не будут намного лучше, чем прогнозы, полученные на основании только прошлых значений потоков. Если, однако, рассматривается задача предсказания стока для небольшого речного бассейна, информация об осадках очень полезна для предсказания потоков, особенно средних потоков за день (Тао и др., 1975).

Как и прежде, определим класс моделей с помощью тройки где стохастическое разностное уравнение, содержащее вектор коэффициентов в ковариационную матрицу шума

где -матрица, составленная из членов типа тренда и членов скользящего среднего типа

где известные функции.

Задачу выбора можно сформулировать следующим образом: среди заданных классов найти класс, лучшим образом характеризующий данное множество наблюдений

Возникает естественный вопрос о выборе возможных классов обладающих таким свойством. В одномерных случаях, рассматриваемых в гл. VIII, X и XI, подобные классы выбираются на основе интуиции и знания физических законов процесса, а также с помощью процедуры проб и ошибок. Поскольку число возможных классов в многомерном случае на несколько порядков больше, чем в одномерном, особую важность приобретает создание методики выбора возможных классов. Лучше всего это сделать, рассматривая уравнения для каждой переменной в отдельности. Лучше всего начинать с «наилучшей» одномерной модели для переменной и исследовать переменные у» необходимые для включения в уравнение для не рассматривая никаких других уравнений. Нужно, однако, убедиться, что уравнения для различных переменных в совокупности будут представлены в некоторой канонической форме. Иначе будет невозможно установить единственность системы уравнений, представляющих заданный многомерный процесс. Таким образом, мы находим, что удобно работать в канонической форме II. Если имеется переменных многомерные

уравнения будут иметь вид

где полиномы от и последовательность

представляет собой дискретный белый шум с пулевым средним и матрицей ковариаций не обязательно диагональной. Можно по отдельности работать с каждым из уравнений для и выяснить, требуются ли члены с переменными в уравнениях для Такой процедуры мы и будем придерживаться. В случае необходимости в уравнения можно включать постоянные чдёны или тренд. Соответствующие члены, необходимые для уравнения можно найти с помощью методов § 8b. Некоторые подробности будут приведены в следующей главе. Нужно отметить, что результаты, полученные из рассмотрения каждого уравнения в отдельности для различных переменных не могут быть определяющими из-за неэффективности соответствующих оценок параметров. Результаты § 9b предполагают наличие различных многомерных классов, которые будут рассмотрены ниже. Эти классы должны непосредственно сравниваться друг с другом. (Тем не менее эти классы не обязательно должны быть представлены в одинаковой канонической форме.) Этот подход рассматривается в § 9с.

Нужно отметить, что в уравнении (9а. 1.2) для члены не рассматриваются. В экономической литературе обычно допускают присутствие членов в уравнении для Поэтому такие модели называются моделями совместных} уравнений. Известно, что, используя уравнение (9а.1.1), можно получить соответствующую каноническую форму III, допускающую наличие совместных членов, хотя и входящих специальным образом. Если включить все в уравнение для для каждого то в общем случае нельзя обеспечить однозначность всей системы. Поэтому мы будем работать с уравнением вида (9а. 1.1), повторив еще раз, что исключение некоторых членов не ведет к потере общности. В общем случае, добавляя другие переменные, можно привести ковариационную матрицу к диагональной форме.