11b. Анализ ряда солнечной активности

Ряд солнечной активности содержит 222 ежегодных наблюдения за период с 1747 по 1969 гг. (Вальдмейер, 1961). В ряде отсутствуют компоненты роста, а имеется лишь систематическое колебание с периодом приблизительно в 11 лет. Этот ряд неоднократно изучался и, начиная с работы Юла (1927), описывался моделью авторегрессионного типа. Однако наиболее согласованная с данными авторегрессионная модель [второго порядка не удовлетворяет всем предложенным здесь критериям адекватности. Поэтому следует попытаться подобрать для ряда соответствующую модель, используя описанные в гл. VIII методы выбора класса. Несмотря на то, что ряд солнечной активности подобен ряду численности популяции рыси, наиболее согласованной оказывается авторегреосионная модель, не содержащая членов синусоидального тренда.

Мы рассмотрим пять классов характеризуемых уравнениями

Класс является общепринятым для описания числа солнечных пятен. Класс введен лишь для иллюстрации того, что добавление в модель авторегрессионного члена третьего порядка не дает никакого выигрыша. Мы рассматриваем также классы с авторегрессионными членами

Таблица 11b.1.1. (см. скан) Остаточная дисперсия и средний квадрат ошибки предсказания по моделям ряда солнечной активности

Такие модели были предложены Уиттлом (1954). Так как период солнечной активности превышает лет, следовало бы ожидать, что класс окажется предпочтительнее класса Однако это не так. Класс является классом ковариационнотационарных моделей, содержащих синусоидальные члены частоты

Мы сравним эти классы, используя как метод предсказания п. 8b.4.1, так и метод правдоподобия п. 8b.1. Используя первые 160 наблюдений ряда, мы получим оценки максимального правдоподобия параметров и дисперсии остатков для каждого из классов. Затем, используя выбранные в каждом из классов модели, мы получим прогнозы на год вперед для оставшихся 62 наблюдений, и для каждого класса вычислим среднеквадратическое значение соответствующих 62 ошибок предсказания. Согласованные модели приведены ниже, а соответствующие значения сведены в табл. 11b.1.1. Для модели мы приводим также стандартные отклонения оценок ее

параметров:

Модель имеет наименьшее значение «индекса предсказания» поэтому согласно методу предсказания 8b.4.1 класс предпочтительнее других. К этому же решению приводит метод правдоподобия п. 8b.1, основанный на использовании дисперсий остатков для различных классов.

Модель выбранная выше, содержит авторегрессионные члены и предпочтительнее модели, содержащей авторегрессионные члены Это несколько неожиданно, поскольку колебания в ряде имеют период, приблизительно равный 11 годам. В отличие от ряда численности популяций рыси, синусоидальные члены не необходимы в выбранной модели

Мы можем проверить адекватность наиболее согласованной модели а также сравнить с моделью которую обычно считают хорошей моделью для исходного ряда. Мы сначала проверим гипотезу о том, что остатки для обеих моделей являются белым шумом, используя для этого стандартные критерии гл. VIII. Кумулятивные периодограммы для обоих множеств остатков, необходимые для критерия 4, показаны на рис. 1lb.1.1 и 11Ь.1.2. Критерии 2—6 не отвергаются для обеих моделей на обычном -процентном уровне значимости. Коррелограммы остатков для приведены на рис. Критерии для остатков не указывают на явную предпочтительность модели модели

Мы дадим непосредственное сравнение выходных характеристик моделей с характеристиками эмпирического ряда солнечной активности. Коррелограммы выходных сигналов моделей и эмпирическая коррелограмма исходных данных приведены на рис. 11Ь.1.5. Мы видим, что коррелограмма модели значительно лучше согласована с эмпирической коррелограммой, чем коррелограмма модели В частности, эмпирическая коррелограмма расположена в пределах двух стандартных отклонений от теоретической коррелограммы для причем

(кликните для просмотра скана)

стандартное отклонение коррелограммы, равное 0,295, подсчитано по формулам гл. 11. Аналогичного утверждения нельзя сделать относительно отсюда следует вывод о явной предпочтительности модели . О предпочтительности модели с точки зрения качества предсказания уже упоминалось.

Рис. 11b.1.3. Коррелограмма остатков по модели ряда солнечных пятен. Пунктирными линиями отмечены границы двух стандартных отклонений для ошибок.

Рис. 11b.1.4 Коррелограмма остатков по модели для ряда чисел солнечных пятен. Пунктирными линиями отмечены границы двух стандартных отклонении для ошибок.

Рис. 11b.1.5. Коррелограмма наблюдений и выходных переменных моделей ряда солнечных пятен. О — исходные данные; модель для логарифма переменной; V — модель типа ; шестиугольник — модель Единичный интервал на оси абсцисс равен одному году.

Итак, окончательно приходим к выводу, что авторегрессионная модель с тремя авторегрессионными членами является наиболее подходящей моделью.