ПРЕДИСЛОВИЕ

Построение стохастических динамических моделей по эмпирическим временным рядам для определенных целей прогноза практикуется в широком круге отраслей знания, включая технику, экологию и прикладную статистику. Тем не менее в литературе до сих пор не были систематически изложены главные проблемы, с которыми приходится сталкиваться при построении модели, а именно проблемы определения правдоподобных классов моделей для данного временного ряда путем просмотра ряда и исследования его характеристик, вопросы детального сравнения различных классов моделей, роль проверки адекватности модели и методы таких проверок и т. д. Разумеется, и это отражено в тексте, был опубликован целый ряд книг, в которых обсуждаются некоторые способы разработки моделей для данных в виде временных рядов.

С нашей точки зрения, центральными проблемами при построении моделей является выбор подходящего класса моделей и проверка адекватности наилучшей модели выбранного класса. Даже если используются методы оптимального оценивания параметров, качество наилучшей модели из неподходящего класса может оказаться плохим по сравнению с качеством соответствующего представителя подходящего класса. Кроме того, обстоятельная проверка адекватности выявляет недостатки выбранного класса и может подсказать более подходящий класс, если только таковой существует. В ранее опубликованных книгах на данную тему проблемы сравнения классов и вопросы проверки адекватности, если и рассматривались, то обсуждались целиком с позиций классической теории проверки гипотез или других аналогичных методов теории принятия решений. Можно показать, что вопросы сравнения многих важных классов моделей выходят за рамки теории проверки гипотез из-за трудностей при отыскании распределения вероятностей для статистики критерия. Далее, программа проверки адекватности, в которой с использованием теории проверки гипотез подвергаются испытанию только остатки, зачастую неубедительна. По этим причинам разработка разнообразных методов сравнения различных классов и последующая проверка адекватности окончательных моделей являются главными темами данной книги. Дополнительно дается достаточно подробное изложение таких относительно стандартных тем, как методы оценивания параметров и оцениваемость.

Обоснованность методологии, разработанной в книге, показывается путем подробного изложения всех этапов исследований,

проводимых при построении моделей примерно для 15 одномерных и многомерных временных рядов. В описания этих исследований включены все важные подробности вычислений при оценивании параметров, выборе класса и проверке адекватности. Ряды данных о количестве осадков и расходов воды в реках, ряды численностей популяций в животном мире, ряды данных о народонаселении США, цифры сбыта и продажи определенной компании — вот некоторые из совокупностей результатов наблюдений, рассмотренные здесь. В книге довольно подробно обсуждаются возможности применения моделей в задачах предсказания, генерирования синтетических данных и проверки гипотез о причинах процессов в окружающей среде. В частности, показано, что стохастические модели превосходят детерминированные вопреки популярности последних.

План книги следующий. Глава I представляет собой введение. Глава II содержит краткое обсуждение таких вопросов, как прогноз, а также другие материалы, содержащие предпосылки для последующих глав. В главе III на качественном уровне обсуждаются основные характеристики временных рядов, вписывающихся в различные модельные схемы, включая модели авторегрессии со скользящим средним (ARMА), и интегрированные АИМА-модель ковариационно-стационарные модели и т. д., и даются рекомендации по выбору возможных классов моделей для заданного ряда. В главах IV и V рассматриваются проблемы сложности модели и ее оцениваемости, т. е. обсуждаются условия, которым должен удовлетворять класс моделей, чтобы в этом классе существовала не более чем одна модель для данного временного ряда. В главах VI и VII излагаются различные методы оценивания параметров и соответствующая взаимосвязь между точностью оценивания и сложностью вычислений. В главах VIII и IX излагаются методы сравнения различных классов моделей и вопросы проверки адекватности выбранной модели. Результаты численного моделирования обсуждаются в главах X и XI.

Эта книга, являющаяся результатом нашей преподавательской деятельности и исследовательских работ по идентификации систем проведенных в университете Пардыо за последние четыре года, предназначается для инженеров-практиков, экологов и статистиков-прикладников, занимающихся построением моделей, а также для аспирантов в качестве учебного пособия по курсу анализа временных рядов и идентификации систем. Предполагается, что читатель книги имеет некоторые, хотя бы и элементарные, познания в статистике и теории случайных процессов; в остальных отношениях книга может читаться автономно. Некоторые из более сложных выводов отнесены в приложения, так что текст читается довольно плавно. Эта книга, за исключением главы V и некоторых частей главы VII, использовалась в качестве учебника в односеместровом курсе для аспирантов первого года обучения.

При написании книги, посвященной вопросам, находящимся в стадии активного исследования, мы по необходимости смогли изложить только небольшое число методов, предложенных для оценивания и сравнения моделей. Наши соображения при этом отборе определялись наличием эмпирического материала, подтверждающего эффективность методов. Вполне возможно, что многие методы, оправдавшие себя на практике, не включены в книгу. Мы находим утешение в словах из «Бхагавадгиты»: «...все начинанья окутаны, грехом, как пламя дымом».

Мы хотели бы поблагодарить доктора Ричарда Беллмана, побудившего нас приняться за эту монографию. Мы хотели бы также поблагодарить доктора Роберта Э. Нэсбурга, который внимательно прочитал рукопись и внес немало предложений, способствовавших ее улучшению. За интерес, проявленный к нашему проекту, мы признательны декану Дж. К. Хэнкоку, профессорам Электротехнической школы университета Пардью К. Л. Коатсу и К. С. Фу и профессору Инженерно-строительной школы Дж. Ф. Маклолину. Мы благодарны господину Р. С. Рамакришне, доктору Р. Г. Сриниваса Рао, господам М. К. Митталу, Р. Макбрайду и доктору Л. К. Растоджи за помощь в вычислительной работе. Мы признательны госпожам Барбаре Паундз, Терри Л. Браун, Терри Л. Сандерс, Мэри Энн Гаррисон и Ванитте Бут, отпечатавшим на машинке эту книгу с малоразборчивой рукописи.

Авторы благодарны Национальному научному фонду, а также Бюро водных исследований и технологии Министерства внутренних дел США за частичпую поддержку исследований, о которых сообщается здесь.

ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛЫ

Все жирные буквы обозначают либо векторы, либо матрицы. Все большие жирные латинские буквы, жирная греческая буква и все жирные рукописные буквы, за исключением обозначают матрицы. Векторы-строки могут быть получены транспонированием, указываемым верхним индексом

(см. скан)

(см. скан)