6е. Объединенная задача оценивания параметров и прогноза

6е.1. Постановка задачи.

Рассмотрим задачу предсказания значения процесса на один шаг вперед путем использования всех наблюдений, имеющихся к настоящему моменту времени. Но, в отличие от изложения гл. II, не будем предполагать, что известны коэффициенты разностного уравнения, которому удовлетворяет имеющийся процесс.

Рис. 6е.1.1. Частный вид устройства одношагового прогноза для процесса с неизвестными параметрами класса

Будем предполагать лишь, что процесс у принадлежит классу где разностное уравнение, — множество всех возможных значений, принимаемых 0, вектором коэффициентов в множество значений, которые может принимать ковариационная матрица шума.

Для этой задачи можно предложить решение специального вида, иллюстрируемое рис. 6е.1.1 (Кашьяп, Рао, 1973; Виттенмарк, 1974). Мы можем оценивать неизвестные параметры каким-либо одним из ранее описанных способов, а затем предсказывать значение процесса по формуле из гл. II, используя соответствующие оценки в качестве значений параметров.

Предположим, что для измерения качества прогноза задан конкретный критерий, например, в виде квадратичной функции. Представляет интерес вопрос, можно ли найти другое правило прогноза, лучшее, чем вышеприведенное, с точки зрения данного критерия. Ответ будет утвердительным в том смысле, что рассмотрение оценивания параметров и предсказания как взаимосвязанных составных частей единой задачи приводит к лучшему правилу прогноза, чем частное правило предсказания, при котором обе эти задачи рассматриваются полностью независимо. Используем с этой целью байесов подход. Любая имеющаяся априорная информация о процессе у при байесовом подходе может вводиться в виде априорного распределения для . Для измерения отклонения оценки от истинного значения будем использовать

квадратичную функцию потерь. Найдем правило прогноза минимизирующее квадратичную функцию риска

Математическое ожидание в вычисляется в предположении, что 0 — случайная величина, которой приписана априорная плотность вероятности

Минимизация риска относительно у — сравнительно легкая задача. Оптимальное правило прогноза имеет

где апостериорная плотность вероятности для 0 при заданной совокупности наблюдений условное математическое ожидание при заданных наблюдениях до момента включительно и заданном значении вектора 0 коэффициентов уравнения Это правило прогноза обсуждалось в гл. II.

Формула для прогноза (6е.1.2) предполагает хранение в памяти всех наблюдений, имеющихся к моменту времени и их обработку для получения прогноза вычислительной точки зрения это может быть трудной задачей. Следовательно, нужно рассмотреть возможность преобразования правила прогноза к форме, реализуемой в реальном масштабе времени, т. е. нужно исследовать, нельзя ли соответствующую информацию, содержащуюся в совокупности наблюдений — 1) на полубесконечном интервале времени, выразить в виде конечномерного вектора и нельзя ли этот вектор пересчитывать в после поступления дополнительных наблюдений в момент времени не обращаясь вновь ко всем наблюдениям — 1), имевшимся к моменту времени Подобная процедура будет содержать лишь конечное число вычислений, выполняемых к моменту времени для определения ; объем требуемой памяти также конечен. Однако подобные рекуррентные процедуы можно получить только при надлежащих предположениях; некоторые из них обсуждаются ниже.