Глава V. СТРУКТУРА И ОЦЕНИВАЕМОСТЬ В МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМАХ

Введение

В предыдущих главах мы рассмотрели структуру одномерных систем и связанные с этим вопросы, подобные оцениваемости. В этой главе мы обсуждаем аналогичные проблемы для многомерных систем. Каждому из обсуждавшихся вопросов и большинству свойств одномерных систем отвечают их аналоги для многомерных систем. Для последних, однако, возникают новые проблемы оцениваемости, отсутствующие в одномерном случае. Имеется обширная библиография работ, посвященных идентифицируемости многомерных систем, возникающих в эконометрике (Драймс, 1972; Чу, 1974; Фишер, 1966).

Отличительной особенностью многомерных систем является то, что один и тот же процесс у может быть описан бесконечным числом разностных уравнений. Это положение остается верным даже в том случае, если накладываются ограничения приводящие к исключению всех общих левых делителей. Напомним, что в одномерном случае предположения вместе с другими обычными допущениями было достаточно для единственности разностного уравнения, описывающего процесс у. Поэтому нашей первой задачей будет разработка метода описания всех возможных разностных уравнений (т. е. многочленных матриц и ковариационной матрицы решения которых имеют одинаковые статистические свойства первого и второго порядка, такие как спектральные плотности и математические ожидания.

Легко видеть, что все четверки приводящие к процессам с одной и той же спектральной парой получаются из одной какой-либо четверки, например посредством унимодулярных преобразований. Поэтому четверку можно назвать канонической, а соответствующее разностное уравнение — каноническим уравнением заданного процесса. Однако в множестве всех четверок удовлетворяющих каноническая форма не единственна: в имеется более одной четверки, обладающей свойством, сформулированным выше. Но для каждой, скажем , канонической формы можно найти подмножество множества 3 такое, что в нем имеется только одна каноническая

четверка, отвечающая спектральной паре Используя эту каноническую четверку, можно получить все четверки в обладающие той же спектральной парой.

С утилитарной точки зрения значение канонической формы состоит в следующем. Рассмотрим задачу оценки коэффициентов четверки соответствующей заданному процессу у, по его прошлым значениям. Будем отыскивать наилучшим образом согласованную с заданными наблюдениями модель (или соответствующую четверку) в классе Но так как содержит счетное число элементов, приводящих к тому же самому процессу (т. е. к той же самой спектральной плотности), то не существует вычислительного метода для получения хотя бы одного решения. Все алгоритмы будут приводить, как правило, либо к колебаниям между различными решениями, либо вообще будут расходиться. Однако для заданного процесса подкласс класса соответствующих четверок будет содержать единственный элемент, а именно каноническую форму. Следовательно, любой стандартный алгоритм поиска требуемой канонической формы можно ограничить подмножеством Отыскав одну каноническую форму, можно будет найти и все другие эквивалентные формы, канонические или неканонические.

Тема канонических форм для детерминированных систем со многими входами и выходами, представляемых с помощью вектора состояния, широко обсуждалась в последние 10 лет (Попов, 1969; Волович, 1974; Розенброк, 1970). Но полученные результаты можно использовать только в том случае, когда имеется какая-либо информация о порядке системы. Такая информация редко содержится в эмпирических временных рядах. Поэтому мы ограничимся рассмотрением лишь таких канонических форм, которые окажутся полезными при анализе временных рядов в условиях неполного априорного знания.

Среди большого числа канонических форм мы рассмотрим следующие три формы, тесно связанные с задачей оценивания:

Каноническая форма I: нижне треугольна; произвольны.

Каноническая форма II: диагональна; произвольны.

Каноническая форма III: диагональны; треугольная; произвольны.

Канонические формы с диагональной В важны по той причине, что система уравнений для оценки неизвестных параметров распадается на независимые уравнения. Важность этого свойства, особенно для системы большой размерности, нельзя недооценивать. Каноническая форма с треугольной А важна по причине «наименьшей избыточности» ее структуры: если подсчитать общее число скалярных коэффициентов многочленных матриц то для треугольной канонической формы (или

какой-либо ее разновидности) это число часто оказывается минимально возможным. Свойство неизбыточности непосредственно связано с вопросом о точности оценивания.

Существуют канонические формы с диагональными А. Использование таких форм лишь осложняет задачу оценивания, а не упрощает ее, поскольку оно чрезвычайно увеличивает важность членов, описывающих скользящее среднее процесса, что всегда затрудняет задачу оценивания. Поэтому такие формы мы рассматривать не будем. Вместе с тем эти формы могут оказаться полезными при синтезе систем. Но всякий раз, когда необходимо использовать каноническую форму с диагональной А, ее можно получить из одной из трех названных канонических форм с помощью некоторого унимодулярного преобразования.

Помимо канонических форм, мы введем также понятие псевдоканонических форм. Оно также полезно в задачах оценивания. Подобно каноническим формам, каждая псевдоканоническая форма единственна в некотором подмножестве множества Различие между каноническими и псевдоканоническими формами заключается в том, что не всякий процесс может допускать псевдоканоническую форму каждого типа с той же спектральной плотностью, какую имеет исходный процесс, тогда как любой процесс, порожденный разностным уравнением, должен иметь единственную отвечающую ему каноническую форму каждого типа.

Перечислим кратко принципиальные сходство и различия между одномерными и многомерными системами. Мы уже упомянули о неединственности разностных уравнений, описывающих один и тот же процесс даже в предположении а также о понятии различных канонических форм, однозначно определяемых по заданному процессу со многими выходами. Но условия оцениваемости параметров каждой из канонических форм и точность оценивания совершенно аналогичны для многомерных и одномерных систем. Это особенно очевидно в случае канонических форм с диагональной В, поскольку задача оценивания для многомерных систем распадается при этом на одномерных задач оценивания. Аналогичным образом, задачи с шумом в наблюдениях можно, используя канонические формы, рассматривать подобно тому, как это делалось для одномерных систем.