Глава VII. ОЦЕНИВАНИЕ ПАРАМЕТРОВ СИСТЕМ, ОПИСЫВАЕМЫХ УРАВНЕНИЯМИ АВТОРЕГРЕССИИ СО СКОЛЬЗЯЩИМ СРЕДНИМ
Введение
В предыдущей главе рассматривались задачи оценивания параметров систем, описываемых разностными уравнениями, не содержащими членов скользящего среднего. В данной главе это ограничение снимается, т. е. будут рассмотрены задачи оценивания неизвестных коэффициентов в разностных уравнениях, которые кроме членов авторегрессии и членов, отвечающих наблюдаемым входам, рассмотренных в гл. IV, содержат также члены скользящего среднего. Разностное уравнение должно быть линейным относительно неизвестных параметров, но оно может быть нелинейным относительно других переменных. Мы рассмотрим задачу оценпвания параметров в системах, описываемых одним разностным уравнением, а также в системах, описываемых несколькими разностными уравнениями.
Отметим, что если подбор модели к имеющимся данным интересует нас только в целях предсказания, то необходимость введения в модель членов скользящего среднего возникает довольно редко, поскольку обычно (но не всегда) можно удовлетвориться моделью с достаточно большим числом членов авторегрессии. Тем не менее существуют и другие причины для рассмотрения систем содержащих члены скользящего среднего. В случае технических систем, таких как самолеты и гидроэлектрические регуляторы, мы имеем хорошее представление о структуре систем, причем эта структура часто характеризуется наличием членов скользящего среднего. Ясно, что было бы неблагоразумно не принимать во внимание эти члены в модели. Параметры таких систем могут оцениваться методами, описываемыми в данной главе.
Мы рассмотрим лишь два подхода к задаче оценивания параметров, а именно метод максимального правдоподобия и методы ограниченной информации. Вначале детально обсуждается метод максимального правдоподобия, поскольку он приводит к асимптотически несмещенным оценкам с минимальной дисперсией в случае гауссовой помехи. Определение этих оценок, особенно для многомерных систем, записанных в канонической форме I или псевдоканонической форме II, требует значительного объема вычислений. Даже если мы располагаем другими, сравнительно простыми методами оценивания, такими как метод наименьших
квадратов или методы ограниченной информации, мы все же вынуждены изучать оценки максимального правдоподобия и вычислять их в ряде задач для того, чтобы уяснить взаимосвязи между вычислительной сложностью и точностью этих оценок.
Затем мы рассматриваем методы ограниченной информации. Привлекательной чертой этих методов является то, что неизвестные параметры в каждом из 
уравнений, описывающих многомерную систему, могут оцениваться независимо от параметров остальных уравнений. Таким образом, сложная задача оценивания параметров многомерной системы сводится к 
относительно простым задачам оценивания параметров одномерных систем. Точность этих оценок оказывается не намного хуже точности оценок условного максимального правдоподобия, а вычислительные трудности при их получении составляют лишь небольшую долю этих трудностей при оценивании методом условного максимального правдоподобия.
Кроме этих двух подходов существуют также многие другие методы оценивания, такие как обобщенный метод наименьших квадратов (Кларк, 1967; Содерстрём, 1972; Хся, 1975), двухступенчатый метод наименьших квадратов (Пандья, 1974), рекуррентный метод наименьших квадратов (Панушка, 1969), методы вспомогательных переменных (Вонг, Полак, 1967; Финиган, Роув, 1974; Янг, 1970), корреляционные методы (Бокс, Дженкинс, 1970; Уиттл, 1951), вычислительные методы в реальном масштабе времени (Гертлер и Баньяс, 1974; Содерстрём, 1973) и др. Все эти методы достаточно отражены в литературе, а недавно вышли два обзора (Кашьяп, Нэсбург, 1974; Кашьяп, Рао, 1973). Поэтому мы не будем обсуждать эти подходы.
