8с. Проверка адекватности выбранных моделей

8с.1. Сущность проверки адекватности модели.

Используя имеющиеся данные и класс моделей, определенный методами выбора класса, можно получить наиболее подходящую модель в этом классе. После этого мы исследуем, насколько хорошо модель соответствует данным; эту процедуру будем называть проверкой адекватности модели. Конкретно требуется знать ограничения модели. Рассмотрим, например, наилучшую модель для ежедневных значений речного потока, построенную по данным ежедневных измерений потока. Можно ли использовать эту модель для получения прогнозов на месяц или на год вперед?

Ответ обычно отрицательный. Другими словами, модель, полученная по ежемесячным данным, дает обычно более хорошие прогнозы на месяц вперед, чем модель, полученная по ежедневным данным. Далее возникает естественный вопрос: в какой мере воспроизводит модель характеристики данных? Например, если взять остатки модели, то при каком максимальном смещении величины могут считаться независимыми? Такие вопросы должны быть разрешены в процессе обоснования модели.

Важно отметить тот факт, что наиболее подходящая модель, полученная из оптимального класса соответствующими методами выбора классов, не обязательно адекватна данным. Напомним, что методы выбора классов дают лучший класс среди заранее выбранных классов. Действительно, часто можно пересмотреть подходящие классы моделей, учитывая текущие тенденции. Например, в начале 1920-х годов обычно для объяснения колебательных явлений строили модели с синусоидальными членами. Теперь появляется тенденция объяснить все процессы в терминах AR- или ARMA-моделей. Если определить критерий проверки адекватности, то мы получим прекрасное представление о достоинствах и недостатках наилучших моделей, полученных из различных классов.

Первым способом проверки адекватности является проверка справедливости сделанных в модели предположений с помощью имеющегося множества наблюдений Основными предположениями является то, что входной шум имеет нулевое среднее и постоянную дисперсию, не зависит от и от Для проверки этих предположений начнем с остаточного ряда, полученного по наилучшей модели в данном классе для заданного множества наблюдений и проверим, согласуется ли полученный ряд остатков с этими предположениями. Если модель была выбрана из класса, имеющего переменные во времени коэффициенты, то нужно вместо остаточного ряда рассмотреть соответствующую «отбеленную» последовательность наблюдений. Поскольку мы используем вероятностные методы, можно только удостовериться, выполняются ли допущения при требуемом уровне значимости. Соответствующие тесты могут быть получены с помощью теории проверки гипотез. Недостатки методов проверки гипотез, отмеченные ранее, такие как произвольность уровня значимости, здесь не имеют значения, потому что при выборе определенной модели из ряда моделей мы интересуемся прежде всего вопросом о том, удовлетворительна она или нет.

Второй метод проверки адекватности состоит в проверке, насколько близки различные теоретические статистические характеристики, такие как коррелограмма и спектральная плотность на выходе модели, к соответствующим характеристикам

эмпирических данных. Однако нужно получить количественную меру степени соответствия между статистическими характеристиками, соответствующую имеющемуся объему наблюдений. Решение об обоснованности модели должно приниматься не только на основе численного расхождения между двумя множествами характеристик, но и с учетом объема выборки. Этого можно достичь с помощью теории проверки гипотез. Проверка адекватности должна проводиться на основе различных тестов таким образом, чтобы любой недостаток модели можно было выявить и исправить.

Эти два подхода дополняют друг друга. Тесты, основанные на остатках, сравнительно легко реализуются, но они могут выявить только главные ошибки в моделях. Сравнение различных статистических характеристик на выходе модели с соответствующими характеристиками эмпирических данных является определяющим при проверке адекватности модели, но требует много времени на вычисления. Эти проблемы будут подробно рассмотрены ниже.

Проверка адекватности — понятие относительное. Существование обоснованной модели данных не исключает возможности другой модели, дающей лучшее соответствие имеющимся данным, чем первая модель. Новая модель может включать дополнительные входные переменные, не включенные в первую модель.