8с.3. Критерии проверки адекватности, основанные на сравнении различных характеристик моделей и наблюдаемых данных.

В этих тестах мы будем непосредственно сравнивать теоретические характеристики выхода модели с соответствующими эмпирическими характеристиками имеющихся наблюдений. Конечно, можно сравнить только некоторые характеристики. Типичными характеристиками, обычно выбираемыми для сравнения, являются коррелограмма, спектральная плотность, временная характеристика разброса в измененном масштабе. В конкретных случаях может потребоваться сравнить некоторые другие характеристики, как в гл. X.

Прежде чем получить статистические характеристики, можно просто реализовать модель на вычислительной машине, получая последовательность с помощью генератора псевдослучайных чисел и проверяя, обладают ли полученные таким образом данные (моделированные или генерированные) главными свойствами наблюдавшихся данных, такими как рост или систематические колебания. Напомним, что одной из целей модели может быть получение синтезированных данных, которые приблизительно воспроизводят статистические характеристики наблюдаемых данных.

Можно столкнуться с трудностями при построении сезонных ARIMA-моделей, так как они не являются асимптотически устойчивыми, т. е. если уравнение записано в виде

то полином имеет нулей на единичной окружности. Следовательно, из-за накопления ошибок округления выход модели может неограниченно возрастать.

8с.3.1. Сравнение коррелограмм.

Пусть

График зависимости от к при фиксированных называется эмпирической коррелограммой последовательности тогда как график зависимости от к называется теоретической коррелограммой процесса

Теоретическую коррелограмму выхода модели необходимо сравнить с соответствующей коррелограммой данных. Степень соответствия между ними может быть количественно выражена с учетом объема доступных наблюдений.

С помощью методов, приведенных в гл. II, можно найти, аналитические выражения выхода данной модели. Однако вывод этих выражений достаточно громоздкий, особенно при наличии в модели синусоидальных членов. По-другому теоретическую коррелограмму и соответствующее стандартное отклонение модели можно оценить, моделируя стохастическое разностное уравнение. Предположим, генерируются 100 независимых последовательностей входов модели, по наблюдений в каждой. Обозначим через эмпирическую коррелограмму последовательности. Пусть

График среднего по выборке в зависимости от к должен дать хорошую оценку истинной коррелограммы модели, а величина должна дать хорошее представление о стандартном отклонении эмпирической коррелограммы выхода модели наблюдениями), вызванном конечностью выборки.

Эмпирическая коррелограмма исходных данных по известным наблюдениям может быть вычислена обычным путем. Если удовлетворяется следующее соотношение (в нашем примере

то можно считать, что эмпирическая коррелограмма хорошо соответствует теоретической коррелограмме модели, и, следовательно, модель можно считать адекватно представляющей коррелограмму данных.

В литературе, особенно в гидрологической, были предложения выбирать модель так, чтобы коэффициент корреляции данных со сдвигом 1, приблизительно совпадал с теоретическим коэффициентом корреляции. Такое требование трудно назвать обоснованным, поскольку является одной из многих статистических характеристик процесса.

8с.3.2. Сравнение оценок спектра.

Рассмотрим две важные спектральные характеристики, а именно периодограмму и спектральную плотность. В противоположность коррелограмме, оценки спектральных функций являются менее точными, и, следовательно, когда мы согласовываем спектральные характеристики исходных данных с характеристиками модели, мы ищем только качественное, а не количественное соответствие.

Если данная апостериорная модель имеет только синусоидальные члены с частотами теоретическая периодограмма, должна равняться нулю для всех частот, за исключением

Используя данные наблюдений, можно получить наблюдаемую периодограмму (т. е. график зависимости от Можно считать соответствие между наблюдаемыми и теоретическими периодограммами хорошим, если наблюдаемая периодограмма имеет относительно острые пики только на частотах

Спектральные плотности модели и исходных данных можно сравнить следующим образом. Пусть модель для в операторной записи имеет вид

теоретическая спектральная плотность выхода модели, записывается в виде

Чтобы получить оценку эмпирической спектральной плотности процесса только по наблюдаемым данным члены синусоидального тренда, соответствующие частотам нужно устранить методом теории рядов Фурье. Обозначим данные с удаленным трендом через Используя можно вычислить следующие две оценки спектральной плотности, используя окна Бартлетта и Даниелла (Вольд, 1965):

Число слагаемых можно выбрать по нашему усмотрению. Эти две оценки можно сравнить с теоретической спектральной плотностью, упомянутой выше. Альтернативно можно использовать спектральные оценки, полученные из AR-моделей (Маркел, 1972).

8с.3.3. Сравнение характеристик разброса в измененном масштабе ...

Можно также сравнить выход модели и исходные данные с точки зрения вероятностных характеристик экстремальных значений, т. е., например, насколько близко среднее значение максимального выхода модели в заданном интервале времени к соответствующему среднему исходных данных. Лучше рассмотреть временные характеристики разброса в измененном масштабе, отражающие накопление разброса данных за определенный период времени.

Оценивание зависимости от временного сдвига по исходным данным вместе с соответствующими стандартными отклонениями рассматривалось в гл. II. Если характеристика зависимости от построенная по эмпирическим данным, попадает в интервал размера одного стандартного отклонения характеристики от полученной по данным модели, можно сказать, что модель «сохраняет» -характеристику.

8с.4. Проверка адекватности модели с зависящими от времени коэффициентами. Проверка адекватности модели с зависящими от времени коэффициентами путем сравнения характеристик данных и характеристик выхода модели не отличается от методов, рассмотренных в п. 8с.3. Аналогично, проверка, представляют ли собой остаточные члены последовательности белый шум при наличии синусоидальных членов в модели с зависящими от времени коэффициентами, идентична методам п. 8с.2. Следовательно, единственным различием между моделями с зависящими от времени коэффициентами и другими моделями является определение остатков.

Рассмотрим систему вида Если является оценкой по всем наблюдениям до момента то является теоретически белым шумом с нулевым средним. Используя тесты п. 8с.2, нужно проверить, является ли эта последовательность белым шумом.