4d.2. Скорости сходимости квазимаксимально правдоподобной оценки.

(I) Если предположение выполнено, то при матрица вторых моментов ошибок оценки сходится, к нулевой. В противном случае может найтись один или более элементов матрицы, не сходящихся к нулю при Такая возможность иллюстрируется следующим примером.

Пример 4d.1. Рассмотрим процесс определяемый уравнением

Условие здесь не выполнено. Матрица вторых моментов ошибок квазимаксимально правдоподобных оценок параметров определяется формулой

Легко видеть, что В силу неравенства Шварца получаем для всех

Следовательно, не сходится к при

(II) Если разностное уравнение не содержит функций тренда, а входной процесс слабостационарен (с нулевым или постоянным средним), то средний квадрат ошибки оценки любого коэффициента уравнения имеет, согласно одному из вариантов закона больших чисел, порядок Действительно, последовательность вектор-градиентов слабостационарна:

Метод оценки математического ожидания в этом выражении приведен в гл. VII. Для обсуждения дальнейших следствий рассмотрим пример.

Пример 4d.2.

В гл. VII будет показано, что матрица вторых моментов ошибок равна

Заметим, что эта ковариационная матрица не зависит от Элементы матрицы в становятся бесконечными, если т. е. если (4d.2.3) не удовлетворяет предположению Особой осторожности требует случай, когда предположение выполнено, но близко к нулю. Передаточная функция системы имеет при этом плюс и пару близко расположенных нулей, а ее параметры оцениваются с большой ошибкой. В такого рода случаях целесообразно использовать модель меньшего порядка.

(III) Если разностное уравнение содержит функции тренда, то коэффициенты при них допускают оценки, средний квадрат ошибки которых в зависимости от природы тренда может сходиться к нулю с отличной от скоростью. Рассмотрим, например, тренд нижеследующего примера.

Пример 4d.3. . Пусть оценка тогда

Пример 4d.4. ,

Эти примеры могут создать ложное впечатление, что средний квадрат ошибки коэффициента при функции тренда имеет порядок Чтобы ослабить это впечатление, рассмотрим следующий пример.

Пример 4d.5.

Здесь

Детерминант матрицы в правой части имеет порядок Следовательно,

Этот пример иллюстрирует также эффект неудачного выбора составляющих функции тренда. При соответствующем их выборе точность оценок параметров можно значительно увеличить. Чтобы проиллюстрировать эту особенность, перепишем уравнение в виде

Если квазимаксимально правдоподобные оценки параметров и , то их точность определяется формулами

Обратим внимание на огромную разницу между порядками средних квадратов ошибок оценок параметров и , определяемых формулами При соответствующем выборе составляющих тренда точность оценки можно значительно повысить.

(IV) Если уравнение является авторегрессионным со скользящим средним и с функциями тренда, то оценки коэффициентов авторегрессионных членов и членов скользящего среднего будут иметь средние квадраты ошибок порядка Однако оценки коэффициентов функций тренда могут иметь средние квадраты

ошибок, существенно отличающиеся от полученных в Следующий пример иллюстрирует это положение.

Пример 4d.6. ,

Приведенное выражение можно упростить, представляя в виде суммы слабостационарного процесса и детерминированного члена

Тогда

Средний квадрат ошибки оценки имеет порядок тогда как он был бы порядка если бы было как в примере 4d.4. Наличие авторегрессионного члена может решающим образом уменьшить точность оценки коэффициента при составляющей функции тренда.

Можно рассмотреть возможность получения оценки параметра лучшей, чем та, которая была приведена в предыдущем примере. В п. 4d.4 будет показано, что если ограничиться асимптотически несмещенными оценками, приводящими к строго состоятельным оценкам обоих параметров, то использованный в примере метод будет асимптотически оптимальным при условии, что возмущение гауссово. Другими словами, не существует другой асимптотической оценки, имеющей меньшую ошибку, чем оценка, приведенная выше.